内面鏡の半径をc[m]とします。静止している人から見ると、v[m/s]で移動する内面鏡は横方向に√(1-v2/c2)倍収縮しています。縦方向の変化はありません。これをローレンツ収縮と言います。
中心から発した光は、鏡の内面に反射して再び中心に戻って来ます。縦往復する赤の光はO→P→O'と進みます。横往復する青の光はO→Q→O'と進みます。静止時には光の往復距離はみな2c[m]です。しかし、v[m/s]で移動すると往復距離は、縦1/√(1-v2/c2)倍・横1/(1-v2/c2)倍となります。従って、縦往復した赤の光の往復距離は2c/√(1-v2/c2)[m]です。横往復した青の光の往復距離も2c/√(1-v2/c2)[m]です。
一方、内面鏡の中の時計は遅れ、2/√(1-v2/c2)秒間に2秒を刻む様になります。従って、縦往復した赤の光も、横往復した青の光も2秒で戻って来たと観測されます。
v[m/s]で移動する定規も、横に√(1-v2/c2)倍収縮します。従ってc[m]の定規は横方向ではc√(1-v2/c2)[m]の長さとなります。故に、その定規を使うと、内面鏡の横方向の半径はc[m]と測れます。縦方向の半径はc[m]です。
以上の通り、時間の変換式は
t'=t*√(1-v2/c2)
で、空間の変換式は
x'=x/√(1-v2/c2)
y'=y
z'=z
です。
従って、縦方向も横方向も光は2c[m]の距離を2秒で往復して戻って来たと観測されます。故に、光の速さは2c[m]÷2秒=c[m/s]と不変になります。
この様に、光の速度は観測者の移動速度に関係なく、常にc[m/s]と観測されます。これを「光速度不変の原理」と言います。
物理学上、光の往復時間が不変であることは重要な意味を持ちます。重力や電磁気力は、光速で移動するグラビトンや電磁波が物質間を往復することで生じます。
ここでは、電磁気力で説明します。電磁気力の強さは、電磁波の速度によります。真空中での電磁波の速度が最も速くc[m/s]です。水やガラスの中では電磁波の速度は遅くなります。従って、水中では同じ距離であっても生じる電磁気力は真空中よりも弱まります。言い方を変えれば、生じる電磁気力の強さは、電磁波が物質間を往復する時間によることとなります。
上記の様に、慣性系の移動速度に関わらず光の往復時間は不変と観測されます。従って、全ての慣性系で生じる電磁気力の強さは同じと観測されるのです。