ケプラーの第三法則(調和の法則)の意味と求め方

�T.惑星の軌道半径と公転速度の関係

　惑星は太陽の周りを回ることにより、遠心力を受け外に飛び出そうとします。また、惑星は太陽の万有引力により引かれます。
　その、遠心力と太陽の万有引力が釣り合う一定軌道を惑星は公転しています。つまり、双方の力が釣り合うには、惑星の軌道半径と惑星の公転速度の間に一定の関係が必要となります。

遠心力F=mv²/r　 (m=惑星の質量[�s]、v=惑星の公転速度[m/s]、r=惑星の公転半径[m])
万有引力F'=GMm/r²　(G万有引力定数=6.67408×10^-11[m³�s^-1s^-2]、M=太陽の質量[�s]、m=惑星の質量[�s]、r=惑星の公転半径[m])
です。

　この様に、惑星は
遠心力F=万有引力F'
となる一定距離を回っています。ですから
mv²/r= GMm/r²
です。故に
mv²= G×Mm/r、r=GMm/(mv²)、r=GM/(v²)、�@rv²=GM=一定値
でなくてはなりません。

　したがって、惑星の公転軌道半径rと公転速度v間には、�@の関係があり、公転半径が2倍になると公転速度は1/√(2)倍となります。つまり、公転半径をaとすると、公転速度は1/√(a)になります。これで
�@rv²=a×{1/√(a)}²=a×1/a=1=一定値
となります。

�U.実際の惑星の公転半径と公転速度

　では、実際の惑星の公転半径と公転速度を見て行きましょう。図のとおり、惑星の公転半径の比率={1/(惑星の公転速度の比率)}²となっています。ですから
�@rv²=r×1/r=1=一定値
を満たしています。

�V.ケプラーの第三法則(調和の法則)

　ケプラーの第三法則(予定調和の法則)は「惑星の公転周期の2乗と惑星の太陽からの距離の3乗の比は、惑星によらず一定である」です。
　先ず、惑星の公転周期を求めましょう。説明を簡単にするために、公転軌道を円とします(実際の軌道は楕円ですが、かなり円に近い楕円です)。
惑星の公転周期=円周÷速度=2πa(半径)÷1/√(a)=2πa√(a)
です。したがって
惑星の公転周期の2乗={2πa√(a)}²=4π²a³
です。一方
惑星の太陽からの距離の3乗= {a(半径)}³=a³
です。

故に
惑星の公転周期の2乗÷惑星の太陽からの距離の3乗=4π²a³/ a³=4π²
となり、どの惑星でも「公転周期の2乗÷太陽からの距離の3乗=4π²」と一定であることが分かります。

　では実際の惑星の軌道半径と公転周期より、「公転周期の2乗÷太陽からの距離の3乗=4π²」となっているかを見て行きましょう。

　このとおり一定値=4π²=39.48です。

�W.拡張ケプラーの法則

�@rv²=GM、v²=GM/r、v=√(GM)/√(r)
です。
惑星の公転周期=円周÷公転速度v=2πr÷√(GM)/√(r)= 2πr√(r)/ √(GM)
です。したがって
惑星の公転速度の3乗(r³)÷惑星の公転周期の2乗(T²)=r³/T²=r³÷{2πr√(r)/ √(GM)}²= r³÷4π²r³/ GM)= 4π²/ GM
　つまり
�A「r³/T²=4π²/ GM」です。
これを「拡張ケプラーの法則」と呼びます。

　拡張ケプラーの法則を使えば、太陽の公転速度vと公転半径rが分かれば、銀河の中心にある質量を求めることが出来ます。太陽の公転速度v=2.17×10⁵[m/s]、太陽の公転半径r=2.459737×10²⁰[m]、太陽の公転周期T=2πr/v=7.0956×10¹⁵[s]なので
�Ar³/T²=4π²/ GM→M(銀河の中心の質量)=(r³×4π²)/(T²×G)= (2.459737×10²⁰[m])³×4×(3.141592)²÷(7.0956×10¹⁵[s])²÷6.67408×10^-11=1.748461×10⁴¹[�s]
です。
　銀河の中心にある巨大ブラックホールの質量は、8.154572×10³⁶�sです。これは上記で求めた質量の0.0046%に過ぎません。ですから、太陽はこのブラックホールの重力のみで公転しているのではありません。
　銀河系全体の質量が2.50614×10⁴²[�s]です。太陽は銀河系の半径の半分の当たりを公転しています。ですから、太陽に掛る重力は、銀河の中心方向の物質の重力と銀河の端方向の物質の重力とが差引されます。
　その結果銀河系の中心に、銀河全体の質量の約6.9%の1.748461×10⁴¹[�s]の質量があるとした時と同じ重力が太陽に掛ります。

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