電波{T=周期ms(ミリ秒)、f=周波数Hz(ヘルツ)}を、観測者Aがv[m/s]で移動しながら観察します。その時、Aから見た時間t秒・空間[m]・周期ms・周波数Hzはどの様に変化するでしょうか。
観測者と電波発生源との相対速度をv[m/s]とします。その時、空間と時間の座標は、次のローレンツ変換の通り変換されます。
①x'=(x-vｔ)/√（1-v2/c2）
②y'= y
③z'= z
④t'= (t-vx/c2) / √（1-v2/c2）
静止系における電波の座標を便宜上平面で、P(x,y,z)=⑤(ct*cosθ,ct*sinθ,0)とします。電波は、原点Oを発してt秒後にPの位置に到達します。電波が移動した時間はt秒です。電波の移動した距離は√(x2,y2,z2)=√{( ct*cosθ)2+( ct*sinθ)2+02}=ct[m]です。従って、静止者が見た電波の速度は、ct[m]÷t秒=c[m/s]です。
今度は、v[m/s]で移動する観測者Aが同じ電波を見ると、その速度は幾らと観測されるでしょうか。ローレンツ変換によると、電波の進んだ時間t秒は、v慣性系では④の通り変換されます。⑤より⑥x=ct*cosθです。従って、⑥を④に代入すると
v慣性系で電波の進んだ時間④t'= (t-vx/c2) / √（1-v2/c2）=(c-vcosθ)t/c√(1-v2/c2)秒
です。
また、電波の進んだ距離√(x2,y2,z2)は、v慣性系では⑦√(x'2+y'2+z'2)になります。これに⑤を代入すると、
v慣性系で電波の進んだ距離=⑦√(x'2+y'2+z'2)=√{((t-vx/c2) / √（1-v2/c2）)2+( ct*sinθ)2+02}=(c-vcosθ)t/√(1-v2/c2)[m]
です。
従って、v[m/s]で移動する観測者Aから見た電波の速度は、(c-vcosθ)t/√(1-v2/c2)[m]÷(c-vcosθ)t/c√(1-v2/c2)秒=c[m/s]となります。これで、観測者の移動速度vの値にかかわらず、電波の相対速度は常に静止系と同じc[m/s]となります。これを「光速度不変の原理」と言います。
この様に、観測者と電波発生源の相対速度がv[m/s]である時、電波の進んだ距離は静止者Bが見た場合ct[m]ですが、移動する観測者Aが見た場合、⑦=(c-vcosθ)t/√(1-v2/c2)[m]と観測されます。即ち、電波の波の山から山までの距離(波長)は、静止時の(c-vcosθ)t/√(1-v2/c2)[m]÷ct[m]=(1-vcosθ/c)/√(1-v2/c2)倍と観測されます。
振動数×波長=光速が成立します。電波の相対速度は不変なので、波長が(1-vcosθ/c)/√(1-v2/c2)倍となれば、振動数は√(1-v2/c2)/ (1-(v/c)*cosθ)倍となります。即ち、振動数は
⑧ν'=ν×√(1-v2/c2)/ (1-(v/c)*cosθ)
となります。
この公式が、ドップラー効果Wikipedia
の中段「光のドップラー効果」欄に記載されています。
v慣性系では、周波数fは⑧から
f'=f*√(1-v2/c2)/ (1-(v/c)*cosθ)
となることが分かります。
一方、周期Tは電磁波の山と山の距離[m]÷光速[m/s]です。「光速度は不変」です。距離は、⑦よりv慣性系では静止時に比べて、(c-vcosθ)t/√(1-v2/c2)[m]÷c[m]=(1-(v/c)*cosθ)/√(1-v2/c2)倍となります。
従って、周期は
T'=T*(1-(v/c)*cosθ)/√(1-v2/c2)
となります。つまり、⑨f'=1/T'が成立します。
この様に、v慣性系では、
④t'= (t-vx/c2) / √（1-v2/c2）「時間のローレンツ変換」
⑧ν'=ν×√(1-v2/c2)/ (1-(v/c)*cosθ)「光のドップラー効果」
⑨f'=1/T'「周期と周波数」
の関係が成立します。
従って、⑨式はv慣性系で④t'= (t-vx/c2) / √（1-v2/c2）が成立することを意味しています。
あらゆるものは、波としても表現することが出来ます。時間は、電磁波が山から山に移動する間隔として表されます。v慣性系では、電磁波の山から山までの距離は⑦のとおり変化します。一方、「光の速度は不変」なので、電磁波の山から山までに要する時間の間隔は④t'= (t-vx/c2) / √（1-v2/c2）と変化すると考えます。