物質と光及び4つの力は、「超ひもの網」の上を振動として伝わります。移動する物質から光を観察した時、どの様に観察されるでしょうか。
正しい変換式は、次の通りです。
①t'=t/√(1-v2/c2)
②x'=(x-vｔ)/√(1-v2/c2)
③y'= y
④z'= z
⑤c'=c-vcosθ
ちなみに、高速移動するGPS衛星の時計の遅れは、1秒間に1/√(1-v2/c2)秒を刻み、①は正しいことが分かります。また、ロケットの自動操縦に使うリングレーザージャイロ装置では、光の相対速度を(c-vcosθ)[m/s]と設定しており、⑤も正しいことが分かります。
速度vで移動する物質は、物質反応速度が√(1-v2/c2)倍とゆっくりとしたものとなります。私の肉体はゆっくり動きます。私の持っている時計は1/√(1-v2/c2)秒に1秒を刻む様になります。それを①で表現しています。
横(慣性系の進行方向)方向は、v慣性系の観測者が1秒と考える1/√(1-v2/c2)秒に光はc/√(1-v2/c2)[m]移動します。従って、c/√(1-v2/c2)[m]の長さの「超ひもの網」をc[m]と計ります。また、観測者自身が、X軸方向へvt[m]移動しているので、その分、光の相対的移動距離(観測者と光とが離れてゆく距離)は短くなります。それを②で表現しています。
縦方向(上下左右方向)も、横方向と同じ理由により、一旦は⑥c/√(1-v2/c2)[m]の長さの「超ひもの網」をc[m]と計ります。
しかし、v慣性系では、あらゆる方向へ発した光が、2秒で折り返す点を結んだX2/c2+Y2/(c2-v2)=1の楕円を、X2+Y2=c2の円と定義します。
観測者は、楕円の一つの焦点からもう一つの焦点へと移動します。楕円の二つの焦点と、楕円上の任意の点を結んだ距離は、常に2cです。静止時、あらゆる方向へ発した光が2秒で戻ってくる折り返し点を結ぶと、上記の円となります。同様に、v[m/s]で移動する観測者は、あらゆる光が2秒で折り返す上記の楕円を円と定義するのです。
この楕円は、円を縦方向に√(1-v2/c2)倍収縮した形です。即ち、v慣性系の縦方向では、⑦c*√(1-v2/c2)[m]の「超ひもの網」をc[m]と計るのです。
⑥と⑦を合わせると、c*√(1-v2/c2)/√(1-v2/c2)=c[m]となり、結局縦方向では、c[m]の「超ひもの網」をc[m]と計ることになります。これを③④で表現しています。
観測者には、光は1秒間にc[m]進んだと見えます。しかし、観測者の1秒は実際の1/√(1-v2/c2)秒です。では、光と観測者とはその間に実際には何[m]離れたのでしょうか。
説明を簡単にする為に、平面で考えます。光をP(x,y,z)=⑧(ct*sinθ,ct*cosθ,0)とします。これはOを出発した光がt秒後に到達する地点です。すると実際には、
観測者と光とが離れた距離=√(x'2+y'2+z'2)/t=√{((x-vｔ)/√(1-v2/c2))2+y2+z2}/t=√{(( ct*sinθ-vｔ)/√（1-v2/c2）)2+ (ct*cosθ)2+02}/t= t*(c-v cosθ)/ √（1-v2/c2）= (c-v*cosθ) /√(1-v2/c2)[m]です。
観測者にとって、1秒間にc[m]自分から離れたと見える光でも、「超ひもの網」上(静止系)から見ると、1/√(1-v2/c2)秒間に、 (c-v*cosθ) /√(1-v2/c2)[m]離れているのです。つまり、静止系から見ると、観測者と光とは距離÷時間=(c-v*cosθ)[m/s]の速度で離れて行くのです。これを、リングレーザージャイロ装置で利用しているのです。
この作業が、観測者の観測結果を、「超ひもの網」を静止系とした客観的な観測結果に直すことなのです。慣性系によって、物体の動きは様々に観測されます。何故ならば、観測者にとって時間と空間が主観的に変化しているからです。その時間と空間を、実際の時間と空間に直して、物体の運動を静止系で表現することが、CATBIRD変換です。
ローレンツ変換は次の通りです。
t'= (t-(vx/c2)) / √（1-v2/c2）
x'=(x-vｔ)/√（1-v2/c2）
y'= y
z'= z
c'=c
ローレンツ変換では、v慣性系の1秒は、静止系の(1-(vx/c2)) / √（1-v2/c2）秒であり、GPS衛星の時計の遅れとは乖離しています。また、光速度はcのままであり、リングレーザージャイロ装置の設定とも乖離します。