1粒の粒子は超ひもの振動で表現されます。超ひもの1秒間当たりの振動回数が多い程、その粒子の質量は重くなりエネルギーが高くなります。
1粒の粒子が取り得る最大質量はプランク質量mpです。これは、最短時間であるプランク時間tpに1回(角周波数で)振動する超ひもです。ですから
プランク質量Mpの粒子の周波数f=1/2πtp[Hz]=角周波数ω=1/tp[rad/s]
です。
先ず、プランク質量mpの粒子が静止しているケースを想定します。
この時、超ひもは1秒間当たり1/2πtp回振動しています。その1/2πtp回の振動は、あらゆる方向へ進もうとします。ですから、全体で釣り合い静止しています。振動も打ち消し合っています。
そして
1秒間に1回振動する1本の超ひもの持つエネルギー=プランク定数h×1回
です。ですから
プランク質量mpの物質が持つ静止エネルギーE=h/2πtp=(h/2π)÷√(hバーG/c5)= hバー÷√(hバーG/c5)=√(hバーc5/G)= プランクエネルギーEp
です。
※tp=√(hバーG/c5)、Ep=√(hバーc5/G)を使いました。
プランク質量mp=√(hバーc/G)、プランクエネルギーEp=√(hバーc5/G)なので
プランクエネルギーEp=mp*c2
です。
次は、プランク質量粒子の速度がvになったケースを想定します。
速度vは運動エネルギーE'の2乗に比例します。粒子が光速cに達すると、すべてのエネルギーが静止エネルギーEから運動エネルギーE'に変わります。
運動エネルギーE'とは、同じ方向へ向かう振動の集まりです。振動の向かう方向が揃うので、1粒の粒子はその方向へ移動し振動します。
光速cのプランク質量mp粒子が持つ運動エネルギーE'=プランクエネルギーEp=mp*c2
です。速度vでは
速度vのプランク質量mp粒子が持つ運動エネルギーE'=mp*v2
です。
つまり速度vでは、全体の(mp*c2 -mp*v2 )÷mp*c2=(1-v2/c2)割合のエネルギーが、静止エネルギーから運動エネルギーになります。
これでは、速度vで進んでいる方向以外には√(1-v2/c2)倍しか進めません。
静止エネルギーが残り(1-v2/c2)しかなく、速度はエネルギーの2乗に比例するからです。ですから速度vで移動する粒子は、静止時に比べ1/√(1-v2/c2)倍しか動けません。この高速移動する粒子が動き難くなる現象を、「まるで粒子の質量が、1/√(1-v2/c2)倍増加した様だ」と言います。相対性理論では数式で
m=m0/√(1-v2/c2) (m=速度vの質量・m0=静止時の質量)
とします。
この様に1粒の粒子のエネルギーの内、静止エネルギーは打ち消し合うので、粒子をどの方向にも進めず振動もさせません。一方進む方向の揃った運動エネルギーは、一緒になって粒子を進行方向へ進め振動させます。
では、質量m速度vの粒子Aの波長λを求めましょう。
波長λ=粒子が1回振動するのに要する時間×粒子の速度v
です。
粒子Aの運動エネルギーE'=mv2
です。運動エネルギーがプランクエネルギーEp=mp*c2なら、2πtpに1回振動します。ですから
粒子Aが1回振動するのに要する時間=2πtp×(mp*c2/mv2)
です。したがって
波長λ= 2πtp×(mp*c2/mv2)×v= 2πtp*mp*c2/mv=2π{√(hバーG/c5)}{√(hバーc/G)}c2/mv=2πhバー/mv=h/mv
です。
※tp=√(hバーG/c5)、mp=√(hバーc/G)、hバー=h/2πを使いました。