4色問題とは、平面球面上あらゆる図形は、4色で塗り分けられるかと言う問題です。
5面で5色要するには、5面が残り4面に接し合う必要があり、不可能です。白と黄を接触させると、白・赤・黄で青又は緑を囲んでしまう為、囲まれた青又は緑は、もう一色である緑又は青とは接触出来ない。
4色必要な図形とは、4面が他の3面に接している形か、1面の周囲を奇数面が取り巻いている形です。前者は3分割ドーナッツです。後者は5以上の奇数分割ドーナッツで、周囲の面を2色で順に塗った時、最初と最後が同色になる為4色目が必要です。
3分割ドーナッツⅠの周囲をＡＢＣ3面とし、穴をＤとする。3分割ドーナッツⅡの周囲をＸＹＺ3面とし、穴をＷとする。3分割ドーナッツは、ＡＢＣ3面がＸ面に、ＡＣがＹ面に、Ａ又はＣがＺ面に接する。
①Ⅰの4面がⅡの1面とは接しない。②Ⅰの3面がⅡの2面とは接しない。③Ⅰの同じ2面とⅡの3面とは接しない。それが出来れば、5色目が必要となる。
①から③が出来るには、外に面する面（外面）の内、4面が1色に決まる必要がある。④青黄赤白4面と接する黒1面を描ける。⑤青黄赤黄と決まれば、青黄赤に接する白黒（接する）2面が描ける。⑥青黄青黄と決まれば、青黄に接する赤白黒（接する）3面を描ける。
3面と1面、2面と1面、1面と1面が接する能力を持つ3分割ドーナッツで、5色目が必要な図形が作れるか。ⅠとⅡを接する。丸を縦線（接触線）で2分割し、左右の半円中に○を描き、3本の分割線を描く。Ⅰの分割線と接触線の接点をａｂｃとし、Ⅱの分割線と接触線の接点をｘｙｚとする。ａｂ間の面をＡ、ｂｃ間をＢ、ｃａ間をＣ、ｘｙ間をＸ、ｙｚ間をＹ、ｚｘ間をＺ面とする。分割線に上からａｘｙｂｃｚとなる様描く。ＹはＡＢＣ3面と接しＤ1色に決まる。ＺはＡ・Ｃ・Ｙ＝Ｄと接しＢに決まる。ＸはＡ・Ｙ＝Ｄ・Ｚ＝Ｂと接しＣ1色に決まる。ＷはＡに決まる為4色で塗れる。外面はＣＺの2面2色です。
ｚを分割線上ではなく、Ⅱの半円周上に描く。この場合もＷＸＹＺ4面は1色に決まる。外面はＣＹＺ3面3色で元と同じだ（ア形）。これに、3分割ドーナッツを更に接しても結果は同じで、この方法を続けても、5色目を必要とする図形は出来ない。外面は3面3色のままだ。
次にｚに続きａもⅠの半円周上に取る。外面はＡＣＹＺ4面になるが、ＸＺはＢかＣとなり1色に決まらない。これに3分割ドーナッツⅢ（穴Ｏ、周りＰＱＲ）を接する。ＰとＡＣＹ、ＱとＡＺＹ、ＲとＡかＹを接すると外面はＹＰＲ・ＹＱＲ・ＡＰＲ・ＡＱＲいずれかとなり、1色に決まるが3面3色のままだ。
更にｂｃｘｙを順に接触線から外して円周上に取り、Ⅲを接触させても、1色に決まる外面は、3面3色です。ａｂｃｘｙｚを円周上に取ると、外面は6つ出来（イ形）、外面を外で接して行っても、最終的にはア形になり4色で塗れる。逆にア形の面同士の接触を解いて行っても、最終的にはイ形となり4色で塗れる。
無数の3分割ドーナッツを組み合わせた図形は4色で塗れ、外面同士を接触させて行っても、3面3色となり4面の色は決まらず、4色で塗れる。逆に面の接触を解いて行っても、4色で塗り分けられる。4色で塗れる無数の3分割ドーナッツ図形同士を接触させても、双方の外面は3面3色に出来き、その状態で接触させても4色で塗り分けられ、次にその外面同士の接触を解いて行って元の形にしても、4色で塗り分けられる。
奇数分割ドーナッツを7分割ドーナッツの例で説明すると、7面全てとＸを接し、残り2面とＹを接し、残り1面づつをＺＷと接しないと、3色をＸに、2色をＹに、1色をＺ及びＷに接触させることは出来ない。第3色目は周囲の7面の何処でも良いからだ。性質は3分割ドーナッツと全く同じだ。
次に3色を必要とする図形です。これは2分割ドーナッツか偶数分割ドーナッツです。2分割ドーナッツは3分割ドーナッツの線1本を、偶数分割ドーナッツは奇数分割ドーナッツの線1本を消すことで描ける。
2色を必要とする図形は◎で、線を2本消す事で描ける。1色を必要とする図形は○で、線を3本消す事で描ける。4色で塗り分けられる図形の線を、1本づつ消しても、4色で塗り分けられる。
平面に描いた図形の周囲の面を収縮させ、1面ウにして全体を球面にすると、ウ面が囲まれる面は、図形の外面と同じだ。3面3色が特定するだけで、色の決まった4面に囲まれることは無い。
Ａ・Ｂ-1・Ｃ・Ｂ-2（その4面をＤ-2が取り囲む）に囲まれたＤ-1とＢ-1を1つにすると、Ｅ色を必要とする。3色以下の色を必要とする図形を、同じ方法で検証しても外4面の色は決まらない。
全ての図形は、1から無数に分割されたドーナッツを組み合わせて接触させ、線や穴を無くし、線を伸縮曲げ伸ばすことで描ける。4色以下を必要とする図形をどの様に組み合わせても、5色目を必要とする図形は出来ない。従って、全ての平面及び球面上の図形は、4色で塗り分けられると言える。
塗り分けるのに4色を必要とする図形は、3分割ドーナッツ型と、５以上の奇数分割ドーナッツ型である。それを幾つどの様に組み合わせても、組み合わせられた図形は4色で塗り分けられ、その図形の外面（外周上にある面））は3面以上の奇数にしかならない（偶数なら外面は2色で塗り分けられる）。2つの三分割ドーナッツの一面と三面・一面と二面・一面と一面しか接触出来ず、それでは5色目を必要とする形は出来ない。又、その形は元の3分割ドーナッツ型・５以上の奇数分割ドーナッツ型と同じ外面を持つので、それを更に幾ら組み合わせても4色で塗り分けられる形にしかならない。
3色以下の色で塗り分けられる図形は、より要件が緩和され、5色を必要とする図形は出来ない。
