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四色問題

1.四色問題とは

 4色問題とは、平面球面上あらゆる図形は、4色で塗り分けられるかと言う問題です。

2.5面で5色必要な形

5面で5色必要な形




 5面で5色要するには、5面が残り4面に接し合う必要があり、不可能です。白と黄を接触させると、白・赤・黄で青又は緑を囲んでしまう為、囲まれた青又は緑は、もう一色である緑又は青とは接触出来ない。

3.4色以下が必要な図形同士を組み合わせ、5色目を必要とする図形が出来るか

3分割ドーナッツ 5以上の奇数分割ドーナッツ

 4色必要な図形とは、4面が他の3面に接している形か、1面の周囲を奇数面が取り巻いている形です。前者は3分割ドーナッツです。後者は5以上の奇数分割ドーナッツで、周囲の面を2色で順に塗った時、最初と最後が同色になる為4色目が必要です。
3分割ドーナッツTの周囲をABC3面とし、穴をDとする。3分割ドーナッツUの周囲をXYZ3面とし、穴をWとする。3分割ドーナッツは、ABC3面がX面に、ACがY面に、A又はCがZ面に接する。
@Tの4面がUの1面とは接しない。ATの3面がUの2面とは接しない。BTの同じ2面とUの3面とは接しない。それが出来れば、5色目が必要となる。

 @からBが出来るには、外に面する面(外面)の内、4面が1色に決まる必要がある。C青黄赤白4面と接する黒1面を描ける。D青黄赤黄と決まれば、青黄赤に接する白黒(接する)2面が描ける。E青黄青黄と決まれば、青黄に接する赤白黒(接する)3面を描ける。
3面と1面、2面と1面、1面と1面が接する能力を持つ3分割ドーナッツで、5色目が必要な図形が作れるか。TとUを接する。丸を縦線(接触線)で2分割し、左右の半円中に○を描き、3本の分割線を描く。Tの分割線と接触線の接点をabcとし、Uの分割線と接触線の接点をxyzとする。ab間の面をA、bc間をB、ca間をC、xy間をX、yz間をY、zx間をZ面とする。分割線に上からaxybczとなる様描く。YはABC3面と接しD1色に決まる。ZはA・C・Y=Dと接しBに決まる。XはA・Y=D・Z=Bと接しC1色に決まる。WはAに決まる為4色で塗れる。外面はCZの2面2色です。
zを分割線上ではなく、Uの半円周上に描く。この場合もWXYZ4面は1色に決まる。外面はCYZ3面3色で元と同じだ(ア形)。これに、3分割ドーナッツを更に接しても結果は同じで、この方法を続けても、5色目を必要とする図形は出来ない。外面は3面3色のままだ。

次にzに続きaもTの半円周上に取る。外面はACYZ4面になるが、XZはBかCとなり1色に決まらない。これに3分割ドーナッツV(穴O、周りPQR)を接する。PとACY、QとAZY、RとAかYを接すると外面はYPR・YQR・APR・AQRいずれかとなり、1色に決まるが3面3色のままだ。
更にbcxyを順に接触線から外して円周上に取り、Vを接触させても、1色に決まる外面は、3面3色です。abcxyzを円周上に取ると、外面は6つ出来(イ形)、外面を外で接して行っても、最終的にはア形になり4色で塗れる。逆にア形の面同士の接触を解いて行っても、最終的にはイ形となり4色で塗れる。
無数の3分割ドーナッツを組み合わせた図形は4色で塗れ、外面同士を接触させて行っても、3面3色となり4面の色は決まらず、4色で塗れる。逆に面の接触を解いて行っても、4色で塗り分けられる。4色で塗れる無数の3分割ドーナッツ図形同士を接触させても、双方の外面は3面3色に出来き、その状態で接触させても4色で塗り分けられ、次にその外面同士の接触を解いて行って元の形にしても、4色で塗り分けられる。
奇数分割ドーナッツを7分割ドーナッツの例で説明すると、7面全てとXを接し、残り2面とYを接し、残り1面づつをZWと接しないと、3色をXに、2色をYに、1色をZ及びWに接触させることは出来ない。第3色目は周囲の7面の何処でも良いからだ。性質は3分割ドーナッツと全く同じだ。

次に3色を必要とする図形です。これは2分割ドーナッツか偶数分割ドーナッツです。2分割ドーナッツは3分割ドーナッツの線1本を、偶数分割ドーナッツは奇数分割ドーナッツの線1本を消すことで描ける。

2色を必要とする図形は◎で、線を2本消す事で描ける。1色を必要とする図形は○で、線を3本消す事で描ける。4色で塗り分けられる図形の線を、1本づつ消しても、4色で塗り分けられる。

平面に描いた図形の周囲の面を収縮させ、1面ウにして全体を球面にすると、ウ面が囲まれる面は、図形の外面と同じだ。3面3色が特定するだけで、色の決まった4面に囲まれることは無い。
A・B-1・C・B-2(その4面をD-2が取り囲む)に囲まれたD-1とB-1を1つにすると、E色を必要とする。3色以下の色を必要とする図形を、同じ方法で検証しても外4面の色は決まらない。

全ての図形は、1から無数に分割されたドーナッツを組み合わせて接触させ、線や穴を無くし、線を伸縮曲げ伸ばすことで描ける。4色以下を必要とする図形をどの様に組み合わせても、5色目を必要とする図形は出来ない。従って、全ての平面及び球面上の図形は、4色で塗り分けられると言える。

4.補完

三分割ドーナッツと同じ外面を持つ形 5以上の奇数分割ドーナッツと同じ外面を持つ形


 塗り分けるのに4色を必要とする図形は、3分割ドーナッツ型と、5以上の奇数分割ドーナッツ型である。それを幾つどの様に組み合わせても、組み合わせられた図形は4色で塗り分けられ、その図形の外面(外周上にある面))は3面以上の奇数にしかならない(偶数なら外面は2色で塗り分けられる)。2つの三分割ドーナッツの一面と三面・一面と二面・一面と一面しか接触出来ず、それでは5色目を必要とする形は出来ない。又、その形は元の3分割ドーナッツ型・5以上の奇数分割ドーナッツ型と同じ外面を持つので、それを更に幾ら組み合わせても4色で塗り分けられる形にしかならない。
 3色以下の色で塗り分けられる図形は、より要件が緩和され、5色を必要とする図形は出来ない。

3色を必要とする形 2色を必要とする形 1色を必要とする形