中学生の時、0.999999・・・(以下、無限に同じ数が続く場合をこの様に表わす)=1であると習った。小数点以下に9が無限に続くと、その数は1に等しい。しかし、0.999999・・・は明らかに1とは異なる。それなのに、数学上は両者を等しいとして扱わなければならない。これでは、理性が悲鳴をあげてしまう。
その時、その証明方法として、次の様な説明を受けた。
第一法
1/9=0.111111・・・
両辺に9を掛けると
1=0.999999・・・
である。証明終わり。
第二法
また、0.999999・・・=aとすると、
10a=9.999999・・・
10a－a=9a=9.999999・・・－0.999999・・・=9
∴a=1
である。証明終わり。
しかし、この方法で本当に証明されているのであろうか。第一法を検証して見る。
1/9×2=2/9=0.222222・・・
1/9×3=3/9=1/3=0.333333・・・
1/9×4=4/9=0.444444・・・
1/9×5=5/9=0.555555・・・
1/9×6=6/9=2/3=0.666666・・・
1/9×7=7/9=0.777777・・・
1/9×8=8/9=0.888888・・・
1/9×9=9/9=1
である。
0.111111・・・=1/9と分数で表わせるので、0.111111・・・は有理数である。有理数同士の掛け算は有理数となる。分数同士の掛け算の答えは、必ず分数になるからである。従って、0.111111・・・×9も有理数であり、答えは分数で表現出来る。
しかし、0.999999・・・は分数では表現出来ない。0.999999・・・を分数で表わすには、a÷(aに無限に近いaより大きな数)としなければならない。しかし、分母を有理数で表現することは出来ない。従って、0.999999・・・は無理数である。
0.111111・・・×9=1/9×9なので、明らかに答えは1である。0.111111・・・に9を掛けると0.999999・・・になるのではない。
これでは、有理数×有理数=無理数となってしまう。
次に、第二法を検証して見る。
1/9=0.111111・・・=b
2/9=0.222222・・・=c
1/3=0.333333・・・=d
4/9=0.444444・・・=e
5/9=0.555555・・・=f
2/3=0.666666・・・=g
7/9=0.777777・・・=h
8/9=0.888888・・・=i
9/9=1=j
とすると、
10b=10/9=1.111111・・・
10c=20/9=2.222222・・・
10d=10/3=3.333333・・・
10e=40/9=4.444444・・・
10f=50/9=5.555555・・・
10g=20/3=6.666666・・・
10h=70/9=7.777777・・・
10i=80/9=8.888888・・・
10j=90/9=10
なので、
9b=1, 9c=2、9d=3、9e=4、9f=5、9g=6、9h=7、9i=8、9j=9、
∴
b=0.111111・・・
c=0.222222・・・
d=0.333333・・・
e=0.444444・・・
f=0.555555・・・
g=0.666666・・・
h=0.777777・・・
i=0.888888・・・
j=1
となる。従って、0.111111・・・から0.888888・・・までの数字を10倍すると、1.111111・・・から8.888888・・・になることは正しい。
しかし、本当に0.999999・・・×10=9.999999・・・であろうか。0.999999・・・は分数で表わすことが出来ないので、これを証明する方法はない。従って、上記の0.999999・・・=1の証明は、誤り若しくは不十分であると思われる。
しかし、計算をする場合、答えが0.999999・・・となることは無い。何故なら、a÷(aに無限に近いaより大きな数)でなくては、答えは0.999999・・・とならないが、分母の数字が計算式に出て来ないからである。従って、証明されなくても不都合はない。
この様に考えると、無限大・無限小(0に限りなく近い数)・1に無限に近い数等、無限は人間の理性では扱うことが出来ないことが分かる。それらは数ではなく状態であり、計算の対象とはならないものである。
【補足】
もし、①「0.9999・・・=1」なら
0.9999・・・=(1-無限小)=1、無限小=1-1=0、
∴③「無限小=0」
となってしまいます。
しかし、無限小とは「0 ではない、かつ限りなく 0 に近い微小な量」です。従って③のとおり矛盾するので、②「0.999・・・・≠1」が正解です。
①「0.9999・・・=1」の証明方法として、
『0.999999・・・=aとすると、
10a=9.999999・・・
10a－a=9a=9.999999・・・－0.999999・・・=9
∴a=1』
があります。
しかし、正確には
『0.999999・・・=aとすると、
a=(1-無限小)
10a=10(1-無限小)=(10-10×無限小)
10a－a=9a=(10-10×無限小)-(1-無限小)=(9-9×無限小)
∴a=1-無限小≠1』
です。従って②「0.999・・・・≠1」となります。
①の証明方法の誤りは、10×無限小=無限小として計算していることです。
第二の証明方法として
『1/9=0.111111・・・
両辺に9を掛けると
1=0.999999・・・』
があります。
しかし、
『(1/9)×9=1≠(1-無限小)=0.9999・・・』
です。ですから、
『0.1111・・・×9=1≠(1-無限小)=0.9999・・・』
です。
∴②「0.999・・・・≠1」となります。
私自身の「0.999・・・」の定義は、上で述べたとおり、
「0.999・・・とは(1-無限小)であり、無限小とは0 ではないかつ限りなく 0 に近い微小な量」です。
①「0.9999・・・=1」と考える人の「0.999・・・」の定義は、「0.999・・・とは(1-無限小)でありかつ1である。したがって④「無限小とは0である」です。
しかし、明らかに無限小と0は異なるものです。
また、①「0.9999・・・=1」の別の証明方法として
「0.999・・・=1-(1/10)^∞、(1/10)^∞=0、∴0.999・・・=1-0=1」
があります。
しかし、(1/10)^∞の極限値は0ですが、それは限りなく0に近づく状態なので(1/10)^∞≠0です。
また、(1/10)^∞=0の証明として
「(1/10)^∞は分数でこの様に表せるので有理数である。一方0も有理数である。そして、(1/10)^∞と0の間には数は存在しない。従って、(1/10)^∞=0」
があります。
しかし、(1/10)^∞は分数では表現出来ないので無理数です。1/1000・・・と幾ら0を続けても分数で表現することは出来ません。一方0は0/1と分数で表現出来るので有理数です。
従って、0.999・・・=無理数≠0=有理数です。
『「定義より 0.9999・・・= lim[n→∞]a[n]= lim[n→∞](1-1/10^n)= 1」』
との証明の中で使われる「1/10^∞=0」は、前述のとおり正しくありません。
正しくは「1/10^∞≠0」です。1/10^∞=無理数、0=有理数、無理数≠有理数、∴1/10^∞≠0
です。
∞は数ではないので(1/10^∞)は、整数の分数で表現することは出来ません。ですから、無理数です。
一方、0は0/1と整数の分数で表せるので有理数です。無理数≠有理数、∴(1/10^∞)≠0です。
(1/10^∞)は、0ではないが「限りなく 0 に近い」状態を言います。私の言う無限小のことです。
無限小は状態なので値はありません。無限大も限りなく大きい状態なので値はありません。
この様に、無限が付くと値は定まりません。
また、「lim[n→∞]1/10^n=0 」の証明として
『(1/10)^N < ε⇔log10{(1/10)^N} < log10(ε)⇔N > -log(ε)よ り N > -log(ε) を満たす N をとれば 任意の正の実数 ε に対し てn > N を満たす n が存在して|{1 - (1/10)^n} - 1| < εとなる 』があります。
しかし、これはlim[n→∞]1/10^nの極限値は0であることを証明しているのです。つまり、lim[n→∞]1/10^nは限りなく0に近づくこのことの証明です。
この証明の最後を見て下さい。『|{1 - (1/10)^n} - 1| < ε』を『| (1/10)^n|<ε』とします。この意味は、⑤「| (1/10)^n|は0以上かつ全ての正の数よりも小さい」です。
この方法は、⑥「0以上かつ全ての正の数よりも小さいのは0しかない」を前提としています。ですから⑦「0以上かつ全ての正の数よりも小さいのは0である」との結論を導びいています。
しかし⑥ではなくて、⑧「0<0に限りなく近づくであるlim[n→∞]1/10^n <全ての正の数」です。
ですから、lim[n→∞]1/10^nの極限値は0なのです。0がlim[n→∞]1/10^nそのものではありません。
無限小は、「0 ではない、かつ限りなく 0 に近い微小」です。ですから、⑩「0.999・・・=1－無限小≠1－0=1」です。
何もこの様に複雑な証明をしなくても、「無限に0に近づく(無限小)<全ての正の数」であることは分かります。無限小は最も小さい正の数よりも0に近づくのですから。
また、「0=<無限に0に近づく(正の方向から)」であることも分かります。「0>無限に0に近づく(正の方向から)」では無いのですから。
ですから、⑥を証明するために、⑪「0=0に無限に近づく(無限小)」を証明しなければなりません。しかし、「無限小とは0ではないかつ限りなく0に近い微小」なので⑪の証明は不可能です。
0と正の数で最も小さい数εとの間に、「無限小」が必要であることを証明しました。
正の数で最も小さい数をεとする。0とεの差は(ε‐0)である。(ε‐0)が数であるとする。
(ε‐0)≠0時、それは2で割れる。ε‐(ε‐0)/2<ε、∴εは最も小さい正の数ではない(矛盾)。
(ε‐0)=0時、(ε‐0)/2=0、ε‐(ε‐0)/2=ε、従ってεは最も小さい正の数である。しかし、(ε‐0)=0ならば、ε=0+0=0、∴ε≠正の数(矛盾)。
従って、(ε‐0)≠0であり0とεには差があるが、その差は2で割れない。
そうすると、(ε‐0)/2は存在しないので、ε‐(ε‐0)/2も存在しない。∴εは最も小さい正の数である(合理)。
0と無限小の差は無限小である。また無限小とεの差も無限小である。0とεの差も無限小である。無限小は2で割ることが出来ない。無限小以外の差は2で割ることが出来る。
従って、その2で割ることの出来ない差は無限小である。この様に0とεの間はには、限りなく0に近づきかつ限りなくεに近づく無限小がある。
∴0<無限小<最も小さい正の数であり、0以上かつ最も小さい正の数未満には0以外に0ではない無限小がある。
超実数と言う数の体系は、無限小及び無限大を含みます。
その体系でも「無限小ε≠0」としています。
「0.999・・・=1－無限小ε=1」とすると、「無限小ε=1－1=0」となります。これは矛盾しているので、⑫0.999・・・≠1です。
上記の証明で『| (1/10)^n|<ε』の結論を導いたεには無限小も含まれると主張されています。そうすると「| (1/10)^n|は0以上かつ全ての正の数及び無限小よりも小さい」です。だから、| (1/10)^n|=0となる訳です。∴⑬0.999・・・=1－0=1です。
⑫と⑬で結論が異なるのは、無限小を実数と同じ様に四則計算可能として後者でεに含めたからです。
しかし、本当に無限小×2=無限小の2倍、無限小÷2は無限小の半分でしょうか。
無限小は「限りなく0に近づく」なので、2を掛けても2で割っても「限りなく0に近づく」に変わりありません。
ですから、無限小×2=無限小、無限小÷2は無限小であると考えます。つまり、無限小は実数の様に四則計算出来ないので、εに含まれないのです。つまり、εは全ての正の数です。従って、| (1/10)^n|=0又は無限小です。
| (1/10)^n|=0の時、0.999・・・=1－無限小=1－0=1、無限小=0、しかし、無限小≠0なので矛盾。
| (1/10)^n|=無限小の時、0.999・・・=1－無限小=1－無限小、合理、∴| (1/10)^n|=無限小≠0です。
ですから、①を証明するために、無限小は四則計算出来ることを証明しなければならないのです。
⑭無限小×2は「限りなく0にちかづく」とどう違うのでしょうか。⑮無限小÷2は「限りなく0にちかづく」とどう違うのでしょうか。是非、考えて見て下さい。
「Rの稠密性による(0以上全ての正の数未満は0であること)の証明」で、次の様な考え方があります。
数はぎっしりと詰まっていて(数の稠密性)隣との差はない。従って、0と一番小さい正の数との間には何もない。従って、0以上全ての正の数未満は0である。
しかし、数はぎっしり詰まっており隣との差は0に等しいなら、一番小さい正の数=0+0=0となり矛盾することは既に説明したとおりです。
隣との差は無限小なので、一番小さい正の数≠0、∴一番小さい正の数≠0 (合理)
故に、0と一番小さい正の数との間には無限小と言う「限りなく0に近づく」と「限りなく一番小さい正の数に近づく」があるのです。