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ポアンカレ予想

1.ポアンカレ予想とは

 ポアンカレ予想とは『地球から長い長いロープを付けロケットに乗り、宇宙のありとあらゆる所を旅行する。そして、地球に帰った時、 ロープの両端がある。そのロープの両端を離さないで、ロープ全体を引き寄せられた時、この宇宙はおおむね丸いと言えるか。』 という問題です。

 例えば、宇宙がドーナツ形であれば、ロープは穴に引っ掛かって引き寄せられません。これは3次元閉多様体 (3次元の縁の無い繋がった一枚の面)の中で、球体(3次元球面)以外にロープの引っ掛らない(単連結)の形があるかと言う問題です。

2.解法その1

 トポロジーでは、小さい差異には拘りません。形は自由に伸ばしたり縮めたり出来ます。その様に加工して同じ形になれば、 同じ形と考えます。球体・円錐・三角錐・円柱・立方体も全て同じ形と考えます。この問題では、伸ばしたり縮めたりして球体 になる形を『おおむね丸い形』と定義します。

 球体をいくら伸ばしたり縮めたりしても、穴が無いのでドーナツ形にはなりません。 トポロジーでは球体とドーナツ形は異なる形と考えます。この問題は、球体以外の形で、内部にロープをありとあらゆるコースを 辿って張り巡らせて、その両端を離さずに引っ張って全てを回収できる形があるかということを言っています。

3.色々な形

色々な形



 物には色々な形が有ります。ドーナツ形も在れば、穴の2つ3つのドーナツ形や、ドーナツの途中に1つの結び目のある形、 または2つ3つの結び目のある形と、さまざまな無限の種類の形があります。それらの形はいくら伸ばしたり縮めたりしても、 球体にはならないので、『おおむね丸い形』ではないと言えます。


4.ロープのトポロジー

ロープで色々な形を作る

 そこで、ロケットに付けたロープを長い円柱形であると考えてみましょう。ドーナツ形は、ロープ(=円柱形)の両端をくっ付けた形です。 ドーナッツの途中に1つの結び目のある形は、ロープで1つの結び目を作り、両端をくっ付けた形です。穴が2つあるドーナツ形は、 ドーナツ形を2つくっ付けた形です。

 この様に円柱形のロープをいろんな風にぐるぐると括ったり絡ませたりした上で、 その両端又は途中同士をくっ付けることで、異なる形を無限に作ることが出来ます。そして、それら1つ1つを組み合わせることで、 ありとあらゆる形を作り出せるのです。

逆にいえば、物の取りうる形は、その様にして作り上げた形以外にはないと言えます。 (ロープの途中をくっ付けることは、トポロジーでは両端をくっ付けること同じです。くっ付けたところから先を、 縮めて無くしてしまえばいいのです。)

 そのロープの絡ませ方で異なる形になり、その絡ませ方は無限で、両端をくっ付ければ、無限に異なる形を作ることが出来ます。 しかし、ロープの両端をくっ付けない限り、そのロープは複雑に曲がりくねってはいますが、円柱形であり、伸ばしたり縮めたりすれば、 結局球体になります。ロープの両端をくっ付けて初めて、球体とは別の形になるのです。


5.宇宙とロープ

宇宙と赤い紐  今度はそのロープ自体を、この問題の宇宙と考えて見ましょう。円柱のロープの中心に、一本の赤い紐があるとします。 (その赤い紐は、この問題にあるロケットに取り付けたロープです。)

 円柱のロープの両端をくっ付けてしまうと、 途中でどの様にぐるぐるとロープを絡ませても、中心にある赤い紐の両端を離さずには、赤い紐全てを引き寄せることは出来ません。 (ホースの中に赤い紐を一本通して、そのホースを色々複雑に絡ませた上で、両方のホースの口をくっ付けたと考えてください。 そうすると中の赤い紐の両端を持ったままで、全てを引き寄せることは不可能であることは、容易に分かります。)


 ロープの両端をくっ付けない時のみ(=円柱=球体である時のみ)、赤い紐の両端を離さずに引っ張って、 赤い紐全てを手元に引き寄せられます。(円柱のホースと、中の赤い紐をどんどん縮めると、いくらホースが複雑に絡み合っていても、 球体の中に一本の赤い紐がある状態になります。この形であれば、いくら赤い紐が複雑に絡まっていても、 手元に手繰り寄せることが出来る事は、容易に分かります。)

 従って、赤い紐を全て手繰り寄せられた時は、 ロープの両端はくっ付けられておらず、ロープは複雑に入り組んだ円柱形であり、縮めると球体に還元することが出来ます。 即ちこのロープは『おおむね丸い形』であると言えます。この問題に則して言えば、宇宙は『おおむね丸い形』と言えます。

 この問題では、ロケットに取り付けたロープそのものが、宇宙の形を表現しているのです。
 いろんな形を作るには、 無限にあるコースの1つをロープ(=円柱形)を付けたロケットが辿り、両端をくっ付けることによって初めて、球体とは異なる形になり 、辿るコースの違いによってそれぞれ異なる形になり、逆に両端をくっ付けないと球体のままであると、ポアンカレは言っているのです。

 宇宙は、一本のロープ(=円柱形)で作る無限のさまざまな形1つ1つに、分割することが出来ます。 (穴の2つあるドーナツ形は2つのドーナツ形に分けることが出来ます。)それら、1つ1つの無限のさまざまな形が組み合わさって、 宇宙を構成していると考えられます。
宇宙の構成部分にひとつでも、球体でない形(例えばドーナツ形)が含まれていると、 この問題のロープは引き寄せられないことは、今までの説明で明らかです。

 ポアンカレは色々な形を頭の中で作ろうとして、丸い形(=球体)を色々引き伸ばしたり縮めたり、括ったり絡ませたりしてみました。 しかし、最後にその両端をくっ付けない限り、元の丸い形に還元されてしまう。くっ付けて初めて、丸い形でなくなる。 無限のありとあらゆる形は、引き伸ばした後の絡ませ方次第で作ることが出来る。そのことに気づきました。
 それはまさに、 この問題におけるロープのイメージそのもので、問題の中に答えを隠しているのです。

 ちなみにロープ(=円柱形)の両端をくっつけるには両端の外面と外面、内面と内面を普通にくっ付ける方法と、両端の外面と内面、 内面と外面をくっ付ける方法の2通りがあります。
前者は一本のホースの切り口両面を向かい合わせにしてつなげる方法で、 そうするとホースの中心に通した赤い紐を手繰り寄せられないことは単純に分かります。

 後者はホースの切り口の片方を 裏返しにして後方に剥き、内面が外側に向いた状態の切り口に、もう片方のホースの切り口をつなげる方法です。 ホースの側面が交差します。その時ホースは内側と外側が連続した輪になりますが、ホースの中心を通した赤い紐の両端を、 ホースの外の空間で持つことになるだけで、同様に手繰り寄せられないことが容易に分かります。

6.解法その2

 3次元閉多様体の作り方が有限ならば3次元閉多様体の数も有限であり、1つ1つ検証すれば、回答が出ます。ヒントは、 3次元閉多様体を平面で輪切りにした時、必ず一本の輪になっており、その平面を幾ら動かしてもその輪は連続しており、 必ず元の輪の位置に戻ると言う事です(ドーナツ形を考えて下さい)。

 輪の途中が切れていたり、元の位置の輪に戻らず途中で消えていたら、穴が開いている(=端がある)ことになります。 小さくなり点になって消えること(鉛筆のキャップの形)はありますが、トポロジーではその部分は、縮めて無くすることが出来る為、 無視して良いのです。

 複数の輪に枝分かれすることはあります。しかし、その輪は枝分かれした元の位置に必ず戻ります。 (2つ穴のあるドーナツ形を考えてください。少々伸縮すればそうなります。)従って、2つに枝分かれした場合、 2つの基本形の組合せと考えます。従って、3次元閉多面体の基本形は、一つの輪を移動させ始めの位置に戻すことで作れます。


7.輪を移動し、元の位置に戻すことで立体を作る

○ ∞ 一筆書二重丸◎


 輪の形と動かし方の違いで、異なる形が出来ます。輪には3つの形があります。○(丸形)・∞(無限大形)・ ◎(一筆書二重丸 便宜上◎を使用する)です。この3種の輪は平面上で幾ら動かしても、 他の輪にはなりません。∞は○にしようとしても、折り返せない点が外側に残ります。◎を○にしようとしても、 折り返せない点が内側に残ります。従って、輪を移動させる途中で他の輪になることはありません。 では∞にもう一捻りを加え三つの丸い部分のある形はどうでしょうか。これは、平面上で○になります。丸い部分が偶数なら∞になり、 奇数なら○になります。一筆書き三重丸は平面上で○になります。この場合、丸が偶数なら◎に、奇数なら○になります。

8.輪の動かし方

回転する




 従って、輪の種類はこの3種類しかありません。基本的な動かし方は4種類あります。
@輪が左右対称になる様な軸を取り、  その軸を中心に回転させ元の輪の位置に戻す方法、(○の輪の場合球体になります。∞の輪の場合回転軸は2本取れますが、 いずれも一点に於いて面が交わる為、存在しません。◎の輪の場合回転軸は一本取れますが、 これも面が一点に於いて交わる為存在しません。)


図形の外を中心に回転する


 A輪を外の点を中心として、一回転させ元の位置に戻す方法、 (○の輪の場合、ホースの口と口を向かい合わせに繋いだドーナツ形になります。◎の輪の場合は、 縦切り口が◎のドーナツ形[=幾ら伸縮し面と面をすり抜けさせて変形しても、 ドーナツの内側に折り返せない輪がドーナツの穴を取り囲むように横{ドーナツを横たえた場合}に残ります])∞の輪の場合は、 縦切り口が∞のドーナツ型[=変形しても、ドーナツの外側に折り返せない輪が、ドーナツの穴に沿って横に残ります])


クラインの壷


 B輪を輪の外の点を中心として、半回転させ、途中で引き返し、元の輪の位置に戻る方法、 (○の輪の場合、ホースの口と口を同じ方向に向けて合わせた形=クラインの壷になります)


上下に移動


 C輪を上下方向に移動させつつ元の輪を取り囲むように大きくした上で元の位置に戻す方法、 (○の場合ドーナツ形でAの方法と同じ形になります。)


9.様々な動かし方は、上記@〜Cに還元される

 トポロジーでは、面は幽霊の様にお互いにすり抜ける為、途中複雑に結び目が出来る様に動かしても、すり抜けて結び目は出来ず、 この4種類の方法で作った形に還元されます。Aで2回転させて元の位置に戻しても、面と面がすり抜ける為、ドーナツ形になります。 何回転させても同じです。

 Bの途中で引き返すことを2度行った場合は、変形すると単なるドーナッツ形になります。 引き返しが奇数の時クラインの壷、偶数の時ドーナツ形になります。

 Aの◎の輪の時動かす際、輪を一回転させつつ (独楽が回る感じで)元の位置に戻すと、ドーナツの内側に幾ら加工しても折り返せない輪が縦にある形 (ホースの内側に切り口に沿って折り返せない輪のある形)になります。偶数回転させると、加工すると唯のドーナツ形になります。

 Aの∞の輪の時動かす際、輪を一回転させつつ(独楽が回る感じで)元の位置に戻すと、 ドーナツの外側に幾ら加工しても折り返せない輪が縦にある形(ホースの外側に切り口に沿って折り返せない輪のある形)になります。 この場合も、偶数回転させると、加工すると唯のドーナツ形になります。


10.@〜Cの移動途中に於ける3つの変化

 輪が元の位置に戻る動かし方は、 この基本的にはこの4種類のみです。ただし、途中の動かし方の変化がABCには3種類あります。
 Aについて言えば、前記方法と 、回転の途中で引き返し、来た輪を取り巻く様に大きくし、また元の進行方向に引き返しながら輪を小さくして元の位置に戻す方法 (ホースを内側が外側になる様に外側にひっくり返えして剥き、また外側が内側になる様に内側にひっくり返した上で切り口をつなげた形 =変形させても、ドーナツの外側に縦方向[ホースの切り口に沿った形]に折り返せない輪が残ります=前出のA∞一回転と同じ形)、

 逆に途中で引き返しながら輪を来た輪の内側に入り込む様に小さくし、 また元の進行方向に引き返しながら輪を大きくして元の位置に戻す方法(ホースを外面が内側になる様に内側にひっくり返した上で、 今度は内面が外側になる様に外側にひっくり返し切り口をつなげた形=幾ら変形してもドーナツの内側に縦方向[ホースの切り口に沿った 形]の折り返せない輪が残ります=前出のA◎一回転と同じ形)の3種類です。
2回この操作を行うと変形すると唯のドーナツに戻ります。 偶数回行うと加工すればドーナツ形になるのです。

 Bについて言えば、移動の途中にAの場合と同じ動きを入れる方法です。
 変形しても折り返せない縦の輪(ホースの切り口と同じ形の輪)がクラインの壷に残ります。この場合、内面と外面が繋がっているので、 外側の輪を移動させれば内側の輪となる為、内側にある場合と内側にある場合は同じ形と言えます。

 Cについて言えば、 単純にぐるりと一回動かす方法(○Aと同じ形)と、輪を一筆書き二重丸を書く様に回転させて元の位置に戻す方法 (ドーナツの縦断面は一筆書二重丸となる=◎Aと同じ形・偶数の回転をさせた場合、変形すると唯のドーナツになります。) と輪を∞の様に動かす方法(ドーナツの縦断面は∞となる=∞Aと同じ形・∞の○が3つになる様に動かしても、 変形すると唯のドーナツ形になります。奇数だとドーナツ形になります。)の3通りありますが、結局はAと同じ形になります。


11.この方法で作られる8つの基本的な形

8つの基本形

 以上述べた、
・T球体
・Uドーナツ形
・V内側に折り返せない横の輪のあるドーナツ形
・W外側に折り返せない横の輪のあるドーナツ形
・ X内側に折り返せない縦の輪のあるドーナツ形
・Y外側に折り返せない縦の輪のあるドーナツ形
・Zクラインの壷
・ [折り返せない縦の輪のあるクラインの壷、以上8種類の基本形が存在します。





 クラインの壷を正確に描くことが出来ませんでした。ご容赦ください。(クラインの壷は表の面と裏の面とが続いている為、外側と内側の折返し線は区別されません。又横に折返し線のある形は作れません。)


 この8種類の形は幾ら伸縮し、 面と面をすり抜けさせても他の形にはなりません。上記以外の輪と動かし方の組合せでは、3次元閉多様体にならないことが分かります。 つまり、物の形はこの8種類の組合せで作られていることが分かりました。


12.結論

 U.X.Yではドーナツの穴が引っ掛りロープは回収出来ません。V.W.Z.[では面の内側と外側が繋がっており、ロープの輪の中に縁の無い面(どこまでも続く面)が存在する為、 ロープは回収出来ません。ロープを回収できる形はTの球体のみです。
宇宙を構成している部分に、 球体以外の形が一つでも含まれている場合は、ロープを回収することは出来ないのです。
 従ってロープが全て回収出来た時、 この宇宙は『おおむね丸い』と言えます。

13.補完

 3次元閉多様体(3次元ユークリッド空間)の中にある全ての「ループ=輪ゴム」を一点に収縮出来た時(=「パイワンが消えた時」)、 球体と同相と言えるかと、ポアンカレは問題を提起している。

 例えば、ドーナツ形では、輪ゴムはドーナツの穴に引っ掛り、 一点に縮むことは出来ない。3次元多様体の分類をいきなり考えるのは難しい。そこで2次元多様体(端の無い一枚の面) の分類について考えてみる。

 以前私が示した様に、2次元閉多様体は、T〜[までの8つの形に分類出来る。そして、 その一枚の面の内面上にある「輪ゴム」をその面上で伸縮・交差・すり抜けさせ加工して、面に引っ掛からず一点に縮むのは、 球面のみであることが分かった。

 この事実を、3次元閉多様体に応用してみよう。2次元閉多様体では「輪ゴム」は、 内側の面上のみ移動出来る。3次元閉多様体では「輪ゴム」は、その表面を離れ空間の内側を自由に移動できる。 その点が異なるのみである。

 表面の内面上にある「輪ゴム」の内、一つでも面に引っ掛り、一点に縮むことが出来ない時は、 その3次元閉多様体を除外して良い。2次元閉多様体の内、以前私が示したU・X・Yの形では、輪ゴムを面から離し内部の空間内を移動・ 伸縮・すり抜けさせて加工しても、輪ゴムの輪の中にドーナツの穴が存在する為、一点に収縮させることは出来ない。

 また、V・W・Z・[の形では、同様に空間内で加工しても、輪ゴムの輪の中に端の無い一枚の面が存在する (端が無いので輪から外すことが出来ない)為、一点に収縮させることは出来ない。即ち、Tの「球」以外では、面上で移動しようと、 面を離れて内側の空間内を移動しようと、決して一点に収縮しない「輪ゴム」が存在することが分かる。

 3次元閉多様体の表面の形状が問題なのであり、内部の空間の構造には影響されない。3次元閉多様体の表面は、 2次元閉多様体に完全に含まれる。従って輪ゴムが一点に収縮する3次元閉多様体は、球体のみであることが、証明出来る。