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コラッツ問題

1.コラッツ問題とは

 ある数が奇数なら、3を掛けて1を足す。ある数が偶数なら2で割る。計算結果が奇数なら、また3を掛けて1を足す。偶数なら、また2で割る。その計算を続けて行くと、ありとあらゆる数から始めても、最後は全て4→2→1→4→2→1の繰り返しになるのではないかと、コラッツは予想しました。

2.繰り返しにならない為の条件

 計算値が次第に小さくなって行くと、必ず最終的には4→2→1の繰り返しになってしまいます。従って、計算値が、 無限に大きくなって行く様な始まりの数があれば、必ずしも4→2→1の繰り返しにはならないことが証明されます。

3.(ある奇数×3+1)÷2=奇数

 奇数に3を掛けて1を足すと、必ず偶数となります。従って、次の計算は必ず割る2となります。よって、計算値を大きくするにも、 (ある奇数×3+1)÷2=奇数を繰り返すのが限界です。その計算を繰り返せれば、計算値は無限に大きくなって行き、 必ずしも最後は4→2→1の繰り返しとはならないことが証明されます。

4.エクセルで調べる

 では、その様な始まりの奇数Xがあるか否か、エクセルを使って検証してみましょう。
 列Aに上の行から順番に、1・3・5・7・9・11・・・・と奇数を入力します。列Bに上から順に「=(A1×3+1)/2」等と、 左のA列の奇数を3倍して1を足し2で割る数式を入力します。列CにもB列の値を、3倍して1を足し2で割る数式を入力します。 同様にD列・E列・F列・・・と入力して行きます。

5.計算結果が奇数となるのは

 この結果、いずれかの行において、全ての列の計算値が奇数となるものがあれば、計算値は無限に大きくなって行きます。 B列では、2回に1度奇数が現れます。C列では、4回に1度、D列では8回に1度、E列では、16回に1度奇数が現れます。
 9回の計算で、奇数が連続するのは、512行目の1,023・1,535・2,303・3,455・5,183・7,775・11,663・17,495・26,243・39,365の1つです。 計算を1度すると、全て奇数となる行は1/2になります。計算をn回行えば、2のn乗分の1に減少します。

6.始めの数

 計算をn回する場合、1から数えて2のn乗番目の奇数(又はその倍数番目の奇数)から始めると、n回の計算結果全てが奇数となります。 計算値は大きくなる一方で、4→2→1の繰り返しにはなりません。

7.結論

 無限の数の中では、2のn乗分の1は決して0にはなりません。少なくとも1組は、永遠に奇数が連続し数値が大きくなっていく組み合わせが 存在します。