奇数の完全数をNとします。偶数×偶数=偶数、偶数×奇数=偶数、奇数×奇数=奇数です。掛け算の中に1つでも偶数が入っていると、答えは偶数となります。従って、Nの約数は、全て奇数でなければなりません。そして、約数の数も奇数でなくてはなりません。奇数を偶数個足すと、答えは偶数となるからです。
一番小さい約数は1です。全て奇数と言う前提なので、次に小さい約数を2a+1とします。それ以降、順次小さい順に、2b+1、2c+1、・・・・2n+1とします。この約数の合計がNとなります。
約数を並べると、①の様に丁度Nとなります。また、１つの約数を奇数個並べても②の様に、Nとなります。①をどの様に並べ替えても、丁度Nとならなくてはなりません。約数を並べ替えることによって、①の右端の2b+1が、左端に来るでしょうか。左端に来る為には、④の様に1の隣に2b+1が来なくてはなりません。この状態となると、後は1と2b+1とを入れ替えれば、2b+1は左端に来ます。
①の1と2b+1との間には、奇数個の約数があります。約数の個数が奇数だからです。2b+1と他の約数とを入れ替えて④の様にします。2b+1より小さい約数と入れ替えた時、③の様に偶数ずれます。その値は(2b+1)－(2a+1)=2(b－a)です。1と2b+1以外の約数は奇数個なので、結局偶数ずれることとなります。
2b+1より大きな約数と入れ替えた場合は、⑤の様にNよりも偶数大きくなります。この場合も、1と2b+1以外の約数は奇数個なので、結局偶数ずれることとなります。結局、幾ら入れ替えても、③か⑤の状態しかありません。
③は、Nになるまであと偶数足りません。しかし、残りの約数は1しかありません。従って、④の様に1の右側に2b+1を持ってくることは出来ないことが分かります。⑤は、Nを偶数オーバーしています。そして、そのオーバーした偶数に1を足したものが2b+1とならなくてはなりません。従ってそのオーバーした偶数は、2bである必要があります。2b+1と他の約数とを入れ替えて、2bずれることがあるでしょうか。2c+1と入れ替えた時、ずれるのは2(c－b)です。2b=2(c－b)、c=2bとなってしまいます。従って、⑤も成立しません。 ∴奇数の完全数は存在しないことが分かりました。
