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カタランの予想の解法

1.カタランの予想とは

 aとbを自然数、xとyを2以上の自然数とする時、ax−by=1の解は、a=3、b=2、x=2、y=3に限る、 即ち32−23=1しかないとするのが、カタランの予想です。自然数の累乗の中で、 差が1なのは、23=8と32=9しかないのではないかと言う予想です。

2.ax−by=1が成立する条件

x−by=1 ならば、
x−1=by
左辺=ax−1=@( [k=0,x−1] ak)*(a−1) ※公式より
右辺=by=A( [k=0,y−1] bk)*(b−1)+1  ※公式より

 @をAに変形出来れば、@=A即ちax−1=byとなります。変形出来る条件が、a=3、b=2、x=2、y=3に限られ れば、カタランの予想を証明出来ます。

3.左辺を変形して行きます

@=(1/(b−1))*( [k=0,x−1] ak)*(a−1)*(b−1)
=(1/(b−1))*( [k=0,x−1] ak−(1/(a−1)))*(a−1)*(b−1)+1
 a=b+pを代入します。
=((b+p−1)/(b−1))*( [k=0,x−1] (b+p)k−(1/(b+p−1)))*(b−1)+1
=B((b+p−1)/(b−1))*( [k=1,x−1] (b+p)k+((b+p−2)/(b+p−1)))*(b−1)+1

C((b+p−1)/(b−1))*( [k=1,x−1] (b+p)k+((b+p−2)/(b+p−1)))=J( [k=0,y−1] k)となる条件を調べます。
Cのb0の項の計=D( [k=1,x−1] pk)*(b+p−1)/(b−1)+(b+p−2)/(b−1)=1 
 ※bを因数に含む項はb0の項にはなれないので
=(狽k[k=1〜x−1])*(b+p−1)+p=1
=p*(( [k=0,x−2] pk)*(b+p−1)+1)=1
整数の掛算で1となるのは、1*1と−1*−1のみです。
 p=1の時、
( [k=0,x−2] pk)*(b+1−1)+1=1、( [k=0,x−2] pk)*b=0、( [k=0,x−2] pk)≠0、∴b=0となり矛盾します。
 p=−1の時、
( [k=0,x−2] pk)*(b−1−1)+1=−1、( [k=0,x−2] pk)*(b−2)=−2
 整数の掛算で−2となるのは、2*−1と−2*1のみです。
( [k=0,x−2] (−1)k)=0か1(x=偶数の時0、x=奇数の時0)、∴( [k=0,x−2] 狽k)=1、(b−2)=−2、b=0となり矛盾します。
 

4.D式の要件

 いずれの場合も矛盾するので、Dをb0の項のみの合計でなくする必要があります 即ちDの中にbを因数に含む項がなければ、CをJに変形出来ないのです。
  D=t*b+1*b0=t*b+1(tはbの関数で表される可能性はあります。)
と表されます。つまり、
( [k=1,x−1] pk)*(b+p−1)(b−1)
か、
(b+p−2)/(b−1)
 いずれか一方が、bを因数に持ち、他方は1です。(双方bを因数に持つ場合は、D=t*b、即ちDはbの倍数となり、1*b0=1の項がなくなってしまうのでCをJに変形出来ないし、 双方bを因数に持たない場合も、上記の通りCをJに変形出来ないので。)
 

5.どちらが1か

( [k=1,x−1] pk)*(b+p−1)/(b−1)=1の時、
整数の掛算で1となるのは、E1*1とF−1*−1のみです。
Eなら(b+p−1)=(b−1)、p=0となり矛盾します。
Fなら( [k=1,x−1] 狽k)=−1、p=−1でx−1=奇数の時のみ、答えは−1となります。(p≦−2で答えが−1になることはありません。)
 (b−1−1)/(b−1)=−1、b=3/2となり矛盾します。
∴(b+p−2)/(b−1)=1、(b+p−2)=(b−1)、p=1です。
 p=1の時、(b+p−1)/(b−1)=b/(b−1)=b、b=2の時、b/1=bと成立するので矛盾しません。

6.p=1を代入すると

 p=1をCに代入すると、
C=G(b/(b−1))*( [k=1,x−1] (b+1)k +((b−1)/b))
Gのb1項の計=H(b/(b−1))*((x/1)−1)=1*b1
 ※公式 [k=0,s] (b+1)kのbrの係数=((s+1)*s*(s−1)*・・*(s−r+1))/((r+1)*r*(r−1)*・・*2*1)にr=0、s=x−1を入力し、−1しb/(b−1)を掛けます。   公式は[k=0, s]ですが、Gは[k=1,x−1]なので、Gの数列には1が無く−1する必要があります。
Gのb2項の計=I(b/(b−1))*((x*(x−1))/(2*1))*b=1*b2  ※上記公式より

7.∴

H=(b/(b−1))*((x/1)−1)=b
Iより(b/(b−1))*((x*(x−1))/(2*1))=b
でなければCをJに変形出来ない。
(x−1)=x*(x−1)/2、x2−3x+2=(x−2)*(x−1)=0、x≧2、x=2、(b/(b−1))*((2/1)−1)=b/(b−1)=b、 b2−2b=b*(b−2)=0、b≠0、b=2、a=2+1=3、32−1=9−1=8=23=23、∴y=3となる。

8.結論

 従って、@( [k=0,x−1] ak)*(a−1)をA( [k=0,y−1] bk)*(b−1)+1に変形出来る為の要件は、 a=3、b=2、x=2、y=3であり、ax−by=1の解は32−23=1しかないことが分かりました。