ａとｂを自然数、ｘとｙを2以上の自然数とする時、ａx－by＝1の解は、ａ＝3、ｂ＝2、ｘ＝2、ｙ＝3に限る、
即ち32－23＝1しかないとするのが、カタランの予想です。自然数の累乗の中で、
差が1なのは、23=8と32=9しかないのではないかと言う予想です。
ａx－by＝1 ならば、
ａx－1＝by
左辺＝ａx－1＝①（∑ [ｋ＝0,ｘ－1] ａk）*（a－1） ※公式より
右辺＝by＝②（∑ [ｋ＝0,ｙ－1] ｂk）*（ｂ－1）+1 ※公式より
①を②に変形出来れば、①=②即ちａx－1＝byとなります。変形出来る条件が、ａ＝3、ｂ＝2、ｘ＝2、ｙ＝3に限られ
れば、カタランの予想を証明出来ます。
いずれの場合も矛盾するので、⑤をｂ0の項のみの合計でなくする必要があります 即ち⑤の中にｂを因数に含む項がなければ、④を⑪に変形出来ないのです。
⑤＝ｔ*ｂ+1*ｂ0＝ｔ*ｂ+1（ｔはｂの関数で表される可能性はあります。）
と表されます。つまり、
（∑ [ｋ＝1,ｘ－1] ｐk）*（ｂ+ｐ－1）（ｂ－1）
か、
（ｂ+ｐ－2）/（ｂ－1）
いずれか一方が、ｂを因数に持ち、他方は1です。（双方ｂを因数に持つ場合は、⑤＝ｔ*ｂ、即ち⑤はｂの倍数となり、1*ｂ0＝1の項がなくなってしまうので④を⑪に変形出来ないし、
双方ｂを因数に持たない場合も、上記の通り④を⑪に変形出来ないので。）
（∑ [ｋ＝1,ｘ－1] ｐk）*（ｂ+ｐ－1）/（ｂ－1）＝1の時、
整数の掛算で1となるのは、⑥1*1と⑦－1*－1のみです。
⑥なら（ｂ+ｐ－1）＝（ｂ－1）、ｐ＝0となり矛盾します。
⑦なら（ [ｋ＝1,ｘ－1] ∑ｐk）＝－1、ｐ＝－1でｘ－1＝奇数の時のみ、答えは－1となります。（ｐ≦－2で答えが－1になることはありません。）
（ｂ－1－1）/（ｂ－1）＝－1、ｂ＝3/2となり矛盾します。
∴（ｂ+ｐ－2）/（ｂ－1）＝1、（ｂ+ｐ－2）＝（ｂ－1）、ｐ＝1です。
ｐ＝1の時、（ｂ+ｐ－1）/（ｂ－1）＝ｂ/（ｂ－1）＝ｂ、ｂ＝2の時、ｂ/1＝ｂと成立するので矛盾しません。
ｐ＝1を④に代入すると、
④＝⑧（ｂ/（ｂ－1））*（∑ [k=1,ｘ－1] （ｂ+1）k +（（ｂ－1）/ｂ））
⑧のｂ1項の計＝⑨（ｂ/（ｂ－1））*（（ｘ/1）－1）＝1*ｂ1
※公式∑ [k=0,ｓ] （ｂ+1）kのｂrの係数＝（（ｓ+1）*ｓ*（ｓ－1）*・・*（ｓ－ｒ+1））/（（ｒ+1）*ｒ*（ｒ－1）*・・*2*1）にｒ＝0、ｓ＝ｘ－1を入力し、－1しｂ/（ｂ－1）を掛けます。
公式は[k=0, s]ですが、⑧は[k=1,ｘ－1]なので、⑧の数列には1が無く－1する必要があります。
⑧のｂ2項の計＝⑩（ｂ/（ｂ－1））*（（ｘ*（ｘ－1））/（2*1））*ｂ＝1*ｂ2
※上記公式より
⑨＝（ｂ/（ｂ－1））*（（ｘ/1）－1）＝ｂ
⑩より（ｂ/（ｂ－1））*（（ｘ*（ｘ－1））/（2*1））＝ｂ
でなければ④を⑪に変形出来ない。
（ｘ－1）＝ｘ*（ｘ－1）/2、ｘ2－3ｘ+2＝（ｘ－2）*（ｘ－1）＝0、ｘ≧2、ｘ＝2、（ｂ/（ｂ－1））*（（2/1）－1）＝ｂ/（ｂ－1）＝ｂ、
ｂ2－2ｂ＝ｂ*（ｂ－2）＝0、ｂ≠0、ｂ＝2、ａ＝2+1＝3、32－1＝9－1＝8＝23＝23、∴ｙ＝3となる。
従って、①（∑ [ｋ＝0,ｘ－1] ａk）*（a－1）を②（∑ [ｋ＝0,ｙ－1] ｂk）*（ｂ－1）+1に変形出来る為の要件は、
ａ＝3、ｂ＝2、ｘ＝2、ｙ＝3であり、ａx－by＝1の解は32－23＝1しかないことが分かりました。