2より大きな偶数は、2個の素数の和で必ず表せると、ゴールドバッハは予測しました。例えば14は、3+11＝7+7と2つの素数の 足し算で表現することが出来ます。
偶数は、等しい2つの数に分けることが出来ます。偶数（2Ｐとする）を2つに等分した（Ｐとする）一方から、ある数（Ａ）を引き
（引いた後をＸとする）、他方にその数（Ａ）を足し（足した後をＹとする）、ＸとＹが共に素数である様なＡが必ず存在すれば、
予測は証明されます。
Ｙ＝Ｘ+2Ａと表されます。
図を使ってイメージを伝えます。横線の左端を0、右端を2Ｐとし、中間点をＰとします。元々、ＸとＹはＰ上にあります。
Ｐが素数であれば、ＸとＹを動かさなくても済みます。その時、偶数（2Ｐ）＝Ｐ（素数）+Ｐ（素数）と表されます。そうでない場合は、
ＸをＡだけ0に近づけなければならず、その分ＹはＡだけ2Ｐに近づきます。
0からＰまでの間には、素数が2から順番に3・5・7・11・13・17・19・23・29・・・Ｎと順番に並んでいます。
2Ｐの位置からＰ方向に逆向きに2から順番に3・5・7・11・13・17・19・23・29・・Ｒ（0からＰ間に付した素数と区別する為Ｒとする）
と番号を付けます。この2からＲまでの位置が、Ｙの来る位置です。2からＲの位置が、0から見て必ず1つは素数の位置であることを、
証明すれば良いのです。
簡単にする為に、素数の波と的のイメージで説明します。0から発した2の波と横線が交わる2・4・6・8・・・の位置を 、2の波が当たる位置と表します。2ＰからＰ間の2からＲの位置を、的と表します。波が当たる位置に的があれば、 その的を撃つことが出来ると表します。0から出発した2からＮの素数の波で、2からＲの的全てを、撃つことが出来るでしょうか。
Ｎの波では、2の的しか撃てません。ＮとＲの間は、2Ａで偶数です。Ｎ＝Ｒなので、ＲをＮの位置まで移動させると、 Ｎの波は2Ｐから2ＡだけＰ方向に寄った位置に当たります。2Ａは偶数なので、偶数の的にしか当たりません。 素数の中で、偶数であるのは2のみです。従って、Ｎの波では、2の的しか撃てません。
また、2の波では2の的しか撃てません。2の波は、Ｎ（素数）には当たらず、ＮとＲの間は2Ａの偶数なので、Ｒにも当たりません。 Ｒに当たらない2の波は、2の的に必ず当たり、それ以外の的には当たりません。
Ｒの的を2とＮの波以外の波で、撃たなければなりません。仮に、Ｒに3の波が当たる様に設定します。すると、
3の波は3の的には当たりません。2ＰからＰ方向に向けて発した3の波は、3の的を通りＲの的には当たりません。ですから、
3の波をＲの的に当てるように動かすと、もう3の的には当たらなくなります。3の的に、仮に5の波が当たるように設定出来たとします。
そうすると、5の波は5の的には当たりません。5の的に、また別の素数の波が当たる様設定出来たとすると、今度は、
その番号の素数の的が撃てなくなります。そうして、次々と的を別の番号の波で撃つと、最後に的が１つ残ります。
的は2の的以外ですが、波は2とＮの波以外だからです。
１つの波で2つ以上の的を撃つように波を設定することや、7の波で11の的を、11の波で13の的を、13の波で7の的を撃つ様に、 波を設定したとします。しかし、それでは全ての波が0を通過することはなくなります。１つの波が１つの的を撃つのなら、 全ての波が全く偶然にも0を通過する可能性は残ります。
１つの波で１つの的を撃つ場合、全ての的を撃つことの出来る波の配置は、2Ｐの位置より2からＮの波を発射した形以外にありません。 それ以外では、1つの波が複数の的を撃つことになります。2の波は2の的を、3の波は3の的を、ｎの波はＲの的を射抜きます。 しかし、この配置でも全ての波が0を通過することはありません。全ての波が1点に集まる位置は、 発射してから2×3×5×・・・×Ｎの位置で、0よりも遥かに先の方です。その位置から2からＮの波を発射して始めて、 2からＲ全ての的を撃つことが出来ます。
従って、全ての的を撃つことは出来ず、Ｙは必ず素数であることが可能です。このことより、2より大きな偶数は、
2個の素数の和で必ず表せると言えます。