「双子の素数問題」とは、3と5・5と7・11と13・17と19の様に、その差が2である素数の組は無数にあるのかと言う問題です。
素数が無限にあることは、以下のとおり証明されています。
ある素数をｐとします。そのｐとｐより小さい全ての素数を掛けた数をｑとします。ｑはｐとｐより小さい全ての素数の倍数です。
そして、ｑに1を足します。ｑ+1はｐより小さい全ての素数で割ることは出来ません。なぜなら倍数に1を足すと元の数で割ることが出来ないからです。ですからｐが幾ら大きな数であっても、pより大きいｑ+1の素数が存在します。したがって、素数は無限に存在します。
しかし、「双子の素数」が無限にあるかと言う問いに、まだ結論は出ていません。そこで、このホームページでそれを探求します。
ここでは、上記の証明と類似した手法を採用します。
ある素数をpとします。そして、q+1と言うpより大きい素数は必ず存在することは証明されています。q+1の双子の素数はq+3です。
しかし、
①2×3×5×7×11×13×・・・・×p+1
②2×3×5×7×11×13×・・・・×p+3
では、②は常に3の倍数になります。(2×3×5×7×11×13×・・・・×p)と3は3で割り切れます。「3の倍数+3の倍数=3の倍数」なので、②は素数ではありません。
したがって、双子の素数を①と②と表現することは出来ません。
そこで、①と②から「×3」を除きます。すると
③2×5×7×11×13×・・・・×p+1
④2×5×7×11×13×・・・・×p+3
です。そして、③と④が3の倍数でなければ、③と④は双子の素数です。何故なら、③と④は3以外の素数では割り切れないからです。このことを説明します。
⑤(2×5×7×11×13×・・・・×p)に1や3を足しても、5からpまでの素数では割れません。それらの素数で割っても余り1と3になるからです。
また、2で割っても余り1となります。故に、③と④は3以外の素数では割り切れません。
では、次に進みます。
⑤(2×5×7×11×13×・・・・×p)≠3の倍数です。何故なら、⑤は3で割り切れない素数のみを掛けた数値だからです。ですから
⑤(2×5×7×11×13×・・・・×p)÷3の余りは1か2です。
まず、「余り1」のケースを考察します。
③(2×5×7×11×13×・・・・×p+1)÷3の余りは、(1+1)÷3=0余り2です。
④(2×5×7×11×13×・・・・×p+3) ÷3の余りは、(1+3)÷3=1余り1です。
ですから、③と④は3で割り切れず双子の素数です。
次に、余り2のケースを考察します。
③(2×5×7×11×13×・・・・×p+1)÷3の余りは、(2+1)÷3=1余り0です。
④(2×5×7×11×13×・・・・×p+3) ÷3の余りは、(2+3)÷3=1余り2です。
したがって、③は3の倍数であり素数ではありません。故に、③と④は双子の素数になりません。
この様に「双子の素数」になる条件は、⑤(2×5×7×11×13×・・・・×p)÷3の余りが1になることです。
pが大きくなっても、どこまでも⑤(2×5×7×11×13×・・・・×p)÷3の余りが1であれば、「双子の素数」は無限にあることになります。
しかし、どこかで余りが2になり双子の素数でなくなったとします。それ以降必ず余りが1になるものが現れることが証明されれば、「双子の素数」は無限にあることになります。
それを検討します。
あるところで⑤(2×5×7×11×13×・・・・×p)÷3の余りが2になりました。次の素数はqです。qを3で割って余りが1であれば、⑥(2×5×7×11×13×・・・・×p×q)÷3の余りも2になり、双子の素数は現れなくなります。
⑤(2×5×7×11×13×・・・・×p)÷3=3n+2、q=(3m+1)と置くと
⑥(2×5×7×11×13×・・・・×p×q)= (3n+2)( 3m+1)=9mn+3m+3n+2=3(3 mn+m+n)+2
だからです。
一方、qを3で割った余りが2であれば、⑥(2×5×7×11×13×・・・・×p×q)÷3の余りは1になり
⑥(2×5×7×11×13×・・・・×p×q)+1も⑥(2×5×7×11×13×・・・・×p×q)+3も素数になり、双子の素数になります。
ですからあるところ以降、3で割って余りが1の素数のみが現れる様になると、それ以降双子の素数は現れないことになります。
しかし1から無限までの数を、素数2は2から1つ置きに、3は3から2つ置きに、5は5から4つ置きに、7は7から6つ置きに・・・、素数でなくして行きます。
この様にイメージすると、3の倍数より2つ大きい数(3n+2)を永遠に素数で無くする素数はないことが分かります。
つまり、あるところ以降の素数が永遠に3n+1のみとなることはないので、双子の素数は無限にあると言えます。