フェルマーの最終定理は、ｎが２より大きい自然数であれば Ｘn＋Ｙn＝Ｚnを満たす、自然数Ｘ、Ｙ、Ｚは存在しないと言う内容です。
ｎ＝2の時、3×3+4×4＝5×5が存在します。しかし、ｎが3以上なら数式を満たす自然数はないと言うものです。
エクセルを使って説明します。
シートⅠのＡ列に1・2・3・4・5・・・16と入力します。Ｂ列にはＡ列を1乗する式（Ｂ1＝Ａ1等）、
Ｃ列には2乗する式（Ｃ1＝$Ａ$1×Ｂ1等）、Ｄ列には3乗する式（Ｄ1＝$Ａ$1×Ｃ3等）、・・・・Ｋ列には10乗する式
（Ｋ1＝$Ａ$1×Ｊ1等）を入力します。1の1乗から16の10乗までの数値が出来ました。
次にシートⅠのＣ列（2乗列）を、シートⅡのＡ列に貼り付けます。Ｂ列には、Ａ列の前後数値の差を計算する式
（Ｂ1＝1 Ｂ2＝Ａ2－Ａ1 Ｂ3＝Ａ3－Ａ2等）を入力します。
更に、Ｃ欄にＢ列の前後数値の差を計算する式
（Ｃ1＝1 Ｃ2＝Ｂ2－Ｂ1 Ｃ3＝Ｂ3－Ｂ2等 1行目は常に1）を入力します。Ｃ列は1・2・2・2・2・・と2
（この連続する数を、連続基数と呼ぶ）が続きます。シートⅠのＤ列（3乗列）を別シートのＡ列に貼り付けます。
Ａ列の差額を求める式をＢ列に、Ｂ列の差額を求める式をＣ列に、Ｃ列の差額を求める式をＤ列に（1行目は常に1）入力します。
Ｄ列は1・5・6・6・6・6・・・と以後6が続きます。同様に4乗列は差額を求める計算を4回繰り返すと、
Ｅ列に1・12・23・24・24・24・・・と24が続きます。10乗列は10回繰り返しで1・1014・48854・504046・1814400・3124754・3579946・
3627786・3628799・3628800・3628800・・と3628800が続きます。つまり、10乗した数は、この数値（基数と呼ぶ）を何倍かして足せば、
表せることになります。他の累乗の場合も同じで、基数が算出されます。
10乗では、連続する数は、1×2×3×4×5×6×7×8×9×10＝3,628,800です。
そして、両端から2つづつ足せば連続する基数となります。
つまり、1+3628799＝1014+3627786＝48854+3579946＝504046+3124754＝1814400+1814400＝3,628,800となります。
そして、どの乗においても１つ目の基数は1、2つ目の基数は2のｎ乗－ｎ（ｎは乗数を表す）、連続基数の前の基数は、
連続基数から1を引いた値になります。下記で再度説明します。
次に、基数を何倍すれば良いかを計算する表を作成します。
では、2乗した数値を求めましょう。
2乗の場合、基数の1と2を何倍かして足します。新シートのＡ1に1を、Ａ2に2を入力します。
累計シートの2行目（1・2・3・4・・13）をＢ1から貼り付けます。累計シート3行目（1・3・6・10・15・21・・・78）
をＣ2から貼り付けます。例えば、Ｅ列は4を2乗した値となります。1×4+2×6＝16＝4×4です。
3乗の場合は、Ａ1に1、Ａ2に5、Ａ3に6（3乗の差額を求めたシートの基数）を入力します。累計シートの3行目（1・3・6・・91）をＢ1から、
同じく3行目をＣ2から貼り付けます。累計シートの4行目（1・4・10・20・・・286）をＤ3から貼り付けます。例えば、
Ｉ列は8を3乗した値です。1×36+5×28+6×56＝512＝8×8×8です。
4乗はＡ列に基数を1・12・23・24と入力し、累計シート4行目（1・4・10・20・・・364）をＢ1・Ｃ2・Ｄ3から、
5行目（1・5・15・35・・715）をＥ4から貼り付けます。
5乗は基数の1・27・93・119・120をＡ列に入力し、累計シートの5行目を、1から119の行に一列づつずらして貼り付けます。
120の行には、6行目を一列ずらして貼り付けます。この場合のルールは、その乗の基数をＡ列に貼り付け、それぞれの基数の行には、
累計シートの対応する行（2乗は2行目、3乗は3行目、4乗は4行目、以下同じ）を、1列づつずらしてそれぞれの基数の行に貼り付けます。
そして、連続基数の行には、累計シートの次の行（2乗は3行目、3乗は4行目、4乗は5行目、以下同じ）を1列ずらして貼り付けることです。
フェルマーの最終定理は、前記の「③10乗の値を求める表」の、何列目かと何列目かを足すと何列目かになる場合があるかと 言い換えることが出来ます。
その為にはまず、基数について分析して見ましょう。2乗の基数は1と2です。3乗の基数は1と5と6です。4乗は1・12・23・24です。
10乗は1・1014・48854・504046・1814400・3124754・3579946・3627786・3628799・3628800です。基数の数は2乗なら2つ、
3乗なら3つ、・・・10乗なら10個となります。
連続基数は2乗なら1×2＝2、3乗なら1×2×3＝6、4乗なら1×2×3×4＝24、
・・・10乗では、1×2×3×4×5×6×7×8×9×10＝3628800です。
そして、両端から2つづつ足せば連続基数になります。
10乗では、1+3628799＝1014+3627786＝48854+3579946＝504046+3124754＝1814400+1814400＝3628800となります。そして、
どの乗においても１つ目の基数は1、2つ目の基数は2のｎ乗－ｎ（ｎは乗数を表す）、連続基数の前の基数は、
連続基数から1を引いた値になります。
次に、基数の倍数を分析してみます。「③10乗の値を求める表」の縦列は、累計シート10行目を逆にした数列です。
等差数列ではないので、ある列のそれぞれの基数の数と、ある列のそれぞれの基数の数を足すと、
別列のそれぞれの基数の数に丁度なると言う事はありません。
2乗の場合は、基数が1と2のみであり、全ての基数が倍数の関係にあるので、それぞれの基数の数は異なっていても、
全体が等しくなる場合があります。例えば3×3+4×4＝1×3+2×3+1×4+2×6＝1×5+2×10＝5×5（1が7つと2が9つは、
1が5つと2が10個と等しい）となる場合があります。これは、全ての基数が倍数の関係にある場合にしか、起こりえません。
3以上の乗で、全ての基数が倍数の関係にある場合があるか検証してみます。2番目に小さい基数は、2のｎ乗－ｎです。
連続基数である1×2×3×4×・・・×ｎが、2のｎ乗－ｎで割り切れるのは、連続基数の丁度半分の値である時の1度のみです
（3乗以上の場合）。また、連続基数が、1×2×3×4×5×6×7×8×9×10ですので、2番目に大きい基数はこれから1を引くことになり、
素数になります。ですから、3乗以上では、全ての基数が倍数の関係にある場合はありません。
では、基数を端から2つ取って足した場合、連続基数になるのですから、それぞれ対応する基数の数が等しければ
全体が連続基数の倍数となるので、それぞれの基数の数は異なっていても、ある列とある列を足せばある列になることが、
あるかも知れません。しかし、表を見るとおり、小さい基数の数の方が多いことが分かります。全体が、
連続基数の倍数になることはありません。
以上述べた事は、3乗以上であれば、何乗の時でも当てはまります。従って、ｎが２より大きい自然数であれば
Ｘn＋Ｙn＝Ｚnを満たす、自然数Ｘ、Ｙ、Ｚは存在しません。