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フェルマーの最終定理

1.フェルマーの最終定理とは

 フェルマーの最終定理は、nが2より大きい自然数であれば Xn+Yn=Znを満たす、自然数X、Y、Zは存在しないと言う内容です。 n=2の時、3×3+4×4=5×5が存在します。しかし、nが3以上なら数式を満たす自然数はないと言うものです。

2.エクセルを使って、累乗値の算式を求める シート1の作成方法

 エクセルを使って説明します。

 シートTのA列に1・2・3・4・5・・・16と入力します。B列にはA列を1乗する式(B1=A1等)、 C列には2乗する式(C1=$A$1×B1等)、D列には3乗する式(D1=$A$1×C3等)、・・・・K列には10乗する式 (K1=$A$1×J1等)を入力します。1の1乗から16の10乗までの数値が出来ました。

3.シート2の作成方法

 次にシートTのC列(2乗列)を、シートUのA列に貼り付けます。B列には、A列の前後数値の差を計算する式 (B1=1 B2=A2−A1 B3=A3−A2等)を入力します。
 更に、C欄にB列の前後数値の差を計算する式 (C1=1 C2=B2−B1 C3=B3−B2等 1行目は常に1)を入力します。C列は1・2・2・2・2・・と2 (この連続する数を、連続基数と呼ぶ)が続きます。シートTのD列(3乗列)を別シートのA列に貼り付けます。

 A列の差額を求める式をB列に、B列の差額を求める式をC列に、C列の差額を求める式をD列に(1行目は常に1)入力します。 D列は1・5・6・6・6・6・・・と以後6が続きます。同様に4乗列は差額を求める計算を4回繰り返すと、 E列に1・12・23・24・24・24・・・と24が続きます。10乗列は10回繰り返しで1・1014・48854・504046・1814400・3124754・3579946・ 3627786・3628799・3628800・3628800・・と3628800が続きます。つまり、10乗した数は、この数値(基数と呼ぶ)を何倍かして足せば、 表せることになります。他の累乗の場合も同じで、基数が算出されます。

10乗の差額



 10乗では、連続する数は、1×2×3×4×5×6×7×8×9×10=3,628,800です。
 そして、両端から2つづつ足せば連続する基数となります。

 つまり、1+3628799=1014+3627786=48854+3579946=504046+3124754=1814400+1814400=3,628,800となります。

そして、どの乗においても1つ目の基数は1、2つ目の基数は2のn乗−n(nは乗数を表す)、連続基数の前の基数は、 連続基数から1を引いた値になります。下記で再度説明します。

4.基数を何倍すれば良いか 累計シートの作成方法

 次に、基数を何倍すれば良いかを計算する表を作成します。

累計シート
 新シート(累計シートと呼びます)の1行目は、全て1を入力します (A列からM列)。2行目は1行目の累計を計算する式(A2=1 B2=SUM($A1:B1) C2=SUM($A1:C1)等M列まで) を入力します。2行目は1・2・3・4・・13となります。3行目は2行目の累計を計算する式(A3=1 B3=SUM($A2:B2)  C3=SUM($A2:C2)等)を入力します。3行目は1・3・6・10・15・21・・・91となります。4行目で3行目の累計を計算すると、 1・4・10・20・35・56・・・455となります。11行目は1・11・66・286・・・646646となる。

5.累乗の数値を求める算式

 では、2乗した数値を求めましょう。
 2乗の場合、基数の1と2を何倍かして足します。新シートのA1に1を、A2に2を入力します。
 累計シートの2行目(1・2・3・4・・13)をB1から貼り付けます。累計シート3行目(1・3・6・10・15・21・・・78) をC2から貼り付けます。例えば、E列は4を2乗した値となります。1×4+2×6=16=4×4です。

 3乗の場合は、A1に1、A2に5、A3に6(3乗の差額を求めたシートの基数)を入力します。累計シートの3行目(1・3・6・・91)をB1から、 同じく3行目をC2から貼り付けます。累計シートの4行目(1・4・10・20・・・286)をD3から貼り付けます。例えば、 I列は8を3乗した値です。1×36+5×28+6×56=512=8×8×8です。

 4乗はA列に基数を1・12・23・24と入力し、累計シート4行目(1・4・10・20・・・364)をB1・C2・D3から、 5行目(1・5・15・35・・715)をE4から貼り付けます。

 5乗は基数の1・27・93・119・120をA列に入力し、累計シートの5行目を、1から119の行に一列づつずらして貼り付けます。 120の行には、6行目を一列ずらして貼り付けます。この場合のルールは、その乗の基数をA列に貼り付け、それぞれの基数の行には、 累計シートの対応する行(2乗は2行目、3乗は3行目、4乗は4行目、以下同じ)を、1列づつずらしてそれぞれの基数の行に貼り付けます。 そして、連続基数の行には、累計シートの次の行(2乗は3行目、3乗は4行目、4乗は5行目、以下同じ)を1列ずらして貼り付けることです。

10乗の値
 10乗目のA列には上記の1・1014・48854・504046・1814400・3124754・3579946・3627786・3628799・3628800を貼り付けます。
 累計シートの10行目(1・10・55・22・715・・・293930)をB1・C2・D3・E4・F5・G6・H7・I8・J9から貼り付け、 11行目(1・11・66・286)をK10から貼り付けます。
 例えばK列は、10の10乗の数値で1×48620+1014×24310+48854×11440+504046×5005+1814400×2002+3124754×715+3579946×220+3627786×55+3628799×10+3628800×1=10000000000=10×10×10×10×10×10× 10×10×10×10です。

6.フェルマーの最終定理をこの表で定義すると

 フェルマーの最終定理は、前記の「B10乗の値を求める表」の、何列目かと何列目かを足すと何列目かになる場合があるかと 言い換えることが出来ます。

7.表の分析

 その為にはまず、基数について分析して見ましょう。2乗の基数は1と2です。3乗の基数は1と5と6です。4乗は1・12・23・24です。 10乗は1・1014・48854・504046・1814400・3124754・3579946・3627786・3628799・3628800です。基数の数は2乗なら2つ、 3乗なら3つ、・・・10乗なら10個となります。

 連続基数は2乗なら1×2=2、3乗なら1×2×3=6、4乗なら1×2×3×4=24、 ・・・10乗では、1×2×3×4×5×6×7×8×9×10=3628800です。

 そして、両端から2つづつ足せば連続基数になります。 10乗では、1+3628799=1014+3627786=48854+3579946=504046+3124754=1814400+1814400=3628800となります。そして、 どの乗においても1つ目の基数は1、2つ目の基数は2のn乗−n(nは乗数を表す)、連続基数の前の基数は、 連続基数から1を引いた値になります。

 次に、基数の倍数を分析してみます。「B10乗の値を求める表」の縦列は、累計シート10行目を逆にした数列です。 等差数列ではないので、ある列のそれぞれの基数の数と、ある列のそれぞれの基数の数を足すと、 別列のそれぞれの基数の数に丁度なると言う事はありません。

8.2乗の時成立する理由

 2乗の場合は、基数が1と2のみであり、全ての基数が倍数の関係にあるので、それぞれの基数の数は異なっていても、 全体が等しくなる場合があります。例えば3×3+4×4=1×3+2×3+1×4+2×6=1×5+2×10=5×5(1が7つと2が9つは、 1が5つと2が10個と等しい)となる場合があります。これは、全ての基数が倍数の関係にある場合にしか、起こりえません。

9.3乗以上の時は

 3以上の乗で、全ての基数が倍数の関係にある場合があるか検証してみます。2番目に小さい基数は、2のn乗−nです。 連続基数である1×2×3×4×・・・×nが、2のn乗−nで割り切れるのは、連続基数の丁度半分の値である時の1度のみです (3乗以上の場合)。また、連続基数が、1×2×3×4×5×6×7×8×9×10ですので、2番目に大きい基数はこれから1を引くことになり、 素数になります。ですから、3乗以上では、全ての基数が倍数の関係にある場合はありません。

 では、基数を端から2つ取って足した場合、連続基数になるのですから、それぞれ対応する基数の数が等しければ 全体が連続基数の倍数となるので、それぞれの基数の数は異なっていても、ある列とある列を足せばある列になることが、 あるかも知れません。しかし、表を見るとおり、小さい基数の数の方が多いことが分かります。全体が、 連続基数の倍数になることはありません。

10.結論

 以上述べた事は、3乗以上であれば、何乗の時でも当てはまります。従って、nが2より大きい自然数であれば  Xn+Yn=Znを満たす、自然数X、Y、Zは存在しません。