TopPage 思考の迷宮へ

エルデス・シュトラウスの予想の解法

１．エルデス・シュトラウスの予想とは

　Ｎを2以上の自然数とすると、4/Ｎ＝1/Ｘ+1/Ｙ+1/Ｚを満たす自然数Ｘ・Ｙ・Ｚが必ず存在するとエルデス・シュトラウスは予想しました。

２．3つの塊で考える

　①（1/Ｎ）×（Ｎ/Ｎ）と②（1/Ｎ）×（Ｎ/Ｎ+1）と③（1/Ｎ）×（1/Ｎ+1）との3つの塊を考えます。
　①は1/Ｎです。②は（1/Ｎ+1）です。③は（1/Ｎ（Ｎ+1））です。①②③とも全て、分子は1で、分母は自然数です。

３．2/Ｎ公式その1

　また、②+③＝（1/Ｎ）×（Ｎ/Ｎ+1）+（1/Ｎ）×（1/Ｎ+1）＝（1/Ｎ）×（Ｎ+1）/（Ｎ+1）＝1/Ｎとなります。
　故に①+②+③＝2/Ｎとなります。従って
1/Ｎ+（1/Ｎ+1）+（1/Ｎ（Ｎ+1））＝2/Ｎ
（「2/Ｎ公式その1」と呼ぶ）は常に成立します。

４．Ｎが偶数の時

　Ｎが偶数の時、「2/Ｎ公式その1」にＮの半分の値を当てはめると、求める式は出来上がります。
　例えばＮ＝22の場合、11を使います。
（1/11）+（1/（11+1））+（1/（11×（11+1）））＝（1/11）+（1/12）+（1/（11×12））＝（1/11）+（1/12）+（1/122） ＝24/122＝4/22となり、求める式が出来ます。

５．Ｎが奇数の時

　Ｎが奇数の時、Ｎは3の倍数、3の倍数+1、3の倍数+2の3通りがあります。

６．Ｎ＝3ｎの時

　Ｎ＝3ｎの時、①の式にはｎを使います。分母を1/3にする為、①の値は3倍になります。②+③の式にはＮを使いますので、値は元のままです。①+②+③＝4/Ｎとなります。
　例えばＮ＝9の場合、（1/3）+（1/（9+1））+（1/（9×（9+1））＝（1/3）+（1/10）+（1/（9×10）＝（1/3）+（1/10）+（1/90）＝40/90＝ 4/9となり、求める式が出来ます。

７．Ｎ＝3ｎ+2の時

　Ｎ＝3ｎ+2の時、②+③の式のＮ+1の値が3ｎ+2+1＝3（ｎ+1）と3の倍数になるので、②+③の式にＮ+1の替りに、ｎ+1を使います （③の分母のＮはそのままです）。分母を1/3にする為、②+③の値は3倍になります。①の式にはＮを使うので、値は元のままです。 ①+②+③＝4/Ｎとなります。
　例えばＮ＝11のとき、3ｎ+2＝11なので、3ｎ＝9、ｎ＝3を使います。（1/11）+（1/（3+1））+ （1/（11×（3+1）））＝（1/11）+（1/4）+（1/44）＝16/44＝4/11となり、求める式が出来ます。

８．Ｎ＝3ｎ+1でＮが奇数の時

　次に、Ｎ＝3ｎ+1でＮが奇数の時です。Ｎは4の倍数－1、4の倍数－3の2通りがあります（Ｎ＝4の倍数、Ｎ＝4の倍数－2の時、 何れもＮは偶数となります）。

９．Ｎが4の倍数－1の時、2/Ｎ公式その2を使う

　Ｎが4の倍数－1の時、（Ｎ+1＝4ｎの時）①式中のＮの代わりに倍数ｎを使います。②式+③式は、（1/2Ｎｎ）+（1/2Ｎｎ） と変形します。2/Ｎ公式を
1/ｎ+（1/2Ｎｎ）+（1/2Ｎｎ）＝2/Ｎ
　（「2/Ｎ公式その2」と呼ぶ）とします。
　例えばＮ＝19の時、19+1＝20＝5×4なので、2/Ｎ公式その2に倍数5を使います。
　（1/5）+（1/（2×19×5））+（1/（2×19×5））＝（1/5）+（1/190）+（1/190）＝40/190＝4/19となり、求める式が出来ます。

１０．Ｎが4の倍数－3の時、2/Ｎ公式その3を使う

　Ｎが4の倍数－3（4ｎ－3とする）の場合、2Ｎ+Ｎ+1＝2（4ｎ－3）+（4ｎ－3）+1＝12ｎ－8＝4（3ｎ－2）となり 、2Ｎ+Ｎ+1は必ず4の倍数となります。2Ｎ+Ｎ+1を4で割った商である（3ｎ－2）をＰとします。即ち4Ｐ＝2Ｎ+Ｎ+1です。 その時、
（1/Ｐ）+（1/2Ｐ）+（1/2ＮＰ）＝2/Ｎ
（2/Ｎ公式その3と呼ぶ）は常に成立します。
　Ｐの代わりにＰ/2＝ｐを使います。例えば、Ｎ＝37の時、（37×2+37+1）/4＝112/4＝28＝Ｐです。ですから、 ｐ＝14を2/Ｎ公式その3に使います。（1/14）+（1/（2×14））+（1/（2×37×14））＝（1/14）+（1/28）+（1/1,036）＝ （1/14）+（1/28）+（1/1,036）＝（74+37+1）/1,036＝112/1,036＝4/37となり、求める式が出来ます。
　これで、「2/Ｎ公式その1・2・3」により、Ｐが奇数以外の場合、即ちＮが素数かつ24の倍数+1以外の場合について求める式が出来ました。

１１．結論

　従って、Ｎを2以上の自然数とすると、Ｎが素数かつ24の倍数+1以外の場合、4/Ｎ＝1/Ｘ+1/Ｙ+1/Ｚを満たす 自然数Ｘ・Ｙ・Ｚが、必ず存在すると言えます。

１２．Ｎが素数かつ24の倍数+1の場合

　エルデスシュトラウスの予想である、4/Ｎ＝1/Ｘ+1/Ｙ+1/Ｚを直すと、
①（Ｎ/Ｘ）+②（Ｎ/Ｙ）+③（Ｎ/Ｚ）＝4
です。
　①Ｎ/Ｘを出来る限り4に近づけて、2つの数字②③を加えて4にするところから始めて、次第に②+③を大きくして行きます。
　Ｎ＝2×2×2×3×ｎ+1です。Ｎ+Ｔ+Ｓが8の倍数であれば、4で割りＸが出ます。その時、Ｔ+Ｓは7・15・23・31・・ と（8の倍数－1＝8ｔ－1）です。
　出来る限り4に近いＸは、（Ｎ+7）/4＝（2×2×2×3×ｎ+1+7）/（2×2）＝ 2×2×2×（3×ｎ+1）/（2×2）＝2×（3×ｎ+1）です。
（Ｎ+7）/（2×（3×ｎ+1））＝Ｎ/（2×（3×ｎ+1））+7/（2×（3×ｎ+1）） ＝Ｎ/Ｘ+Ｔ/（2×（3×ｎ+1））+Ｓ/（2×（3×ｎ+1））＝4は必ず成立します。

１３．予想の成立する条件

　この時、Ｔ/（2×（3×ｎ+1））とＳ/（2×（3×ｎ+1））が共に、「1/自然数」の形になれば予想は成立します。
　何故なら、（Ｎ/Ｘ）+（1/ｙ）+（1/ｚ）＝4が成立すれば、両辺に1/Ｎを掛け、（1/Ｘ）+（1/（Ｎ×ｙ））+③（1/（Ｎ×ｚ）） ＝4/Ｎとなるからです。
Ｔ×Ｓが（2×（3×ｎ+1））＝Ｘの約数であれば良いのです。

１４．ｔ＝1の時

　ｔ＝1の時、Ｔ+Ｓ＝7です。組合せは1+6＝2+5＝3+4＝7の3通りです。Ｘ＝2×（3×ｎ+1）が、1と6、2と5、3と4いずれかの約数を持てば、 成立します。2はＸの約数なので、Ｘが後3、3と2、3と5の内1組でも約数として持てば成立します。

１５．ｔ＝2の時

　成立しない時、ｔ＝2に移ります。Ｔ+Ｓ＝15です。Ｔ+Ｓの組合せは、1+14＝2+13＝3+12＝4+11＝5+10＝6+9＝7+8＝15の7通りです。 Ｘは、（Ｎ+15）/4＝（2×2×2×3×ｎ+1+15）/（2×2）＝2×2×2×（3×ｎ+2）/（2×2）＝2×（3×ｎ+2）です。 Ｘ＝2×（3×ｎ+2）は、2を既に約数に持つので、後7、13、2と2と3、2と11、5と5、3と3と3、2と2と7何れか1組でも、 約数として持てば良いのです。

１６．ｔ＝3の時

　成立しない時、ｔ＝3に移ります。足して23になるＴとＳの組合わせと、Ｔ×ＳをＸ＝2×（3×ｎ+3）が約数として持つか調べます。 そうしてｔ＝4,5,6,7・・・と調べます。

１７．エクセルを使うと

　この計算は、エクセルを使えば簡単に求められます。＝ＩＦ（ＭＯＤ（Ｘ,Ｔ×Ｓ）＝0,1,””）の算式を入力すると、 ＸがＴ×Ｓを約数に持つか否か分かります。Ｎの値が大きくなる程多くのｔを使え、又Ｘの約数が増える為、成立する可能性は高まります。

１８．算出例

　Ｎ＝1873の時、Ｘ＝（1873+7）/4＝470＝2×5×47なので、2と5が約数にあるので、Ｔ＝2、Ｓ＝5です。 4/1873＝（1/1873）×（1873/470）+（1/1873）×（2/470）+（1/1873）×（5/470）＝ 1/470+2/（470×1873）+5/（470×1873）＝1/470+2/880310+5/880310＝1/470+2/880310+5/880310＝ 1/470+1/440155+1/176062＝（1873+2+5）/880310＝（1873+2+5）/880310＝1880/880310＝4/1873です。

　また、Ｎ＝1609の時、ｔ＝2でした。Ｘ＝（1609+15）/4＝406＝2×7×29です。2×7が約数にあるので、 Ｔ＝1、Ｓ＝14の組み合わせです。4/1609＝（1/1609）×（1609/406）+（1/1609）×（1/406）+（1/1609）×（14/406）＝ 1/406+1/（406×1609）+14/（406×1609）＝1/406+1/653254+14/653254＝1/406+1/653254+1/46661＝ （1609+1+14）/653254＝1624/653254＝4/1609でした。

　Ｎ＝8641などは、ｔ＝12でした。Ｘ＝（8641+95）/4＝8736/4＝2184＝2×2×2×3×7×13です。 Ｔ+Ｓ＝39+56＝95で、（1/8641）×（（8641/2184）+（39/2184）+（56/2184））＝（1/2184）+（1/483896）+（1/336999）＝ （8641+39+56）/18871949＝8736/18871949＝4/8641でした。

１９．予想

　Ｎが大きくなる程、成立する可能性はより大きくなるので、エルデスシュトラウスの予想は成立すると予想します。
　参考に、Ｎが素数かつ24の倍数+1の場合のエクセル表を掲示します。

２０．【補足】

　分りにくい部分があるので、Ｎが素数かつ24の倍数+1の場合の部分について、補足説明します。
　エルデス・シュトラウスの式を、4/N=1/X+1/Y+1/Z=(1/N)*(N/X)+(1/N)*(T/X)+(1/N)*(S/X)と表現します。その理由は、次の通りです。
　私が、エルデス・シュトラウスの予想式を見て、最初に感じたことは、項目が4つあればいとも簡単に、この式は成立すると言うことです。つまり、1/N+1/N+1/N+1/N=4/Nです。
　しかし、予想式には、項目が3つしかありません。このままでは、3つを足しても1/N+1/N+1/N=3/Nにしかなりません。従って、3つの(1/N)を、それぞれ何倍かして(分数を掛けて)から足すことにより、答えを4/Nにもって行く必要があります。
　つまり、(1/N)*a+(1/N)*b+(1/N)*c=4/Nにしなければなりません。しかも、3つの項目は、通分すると (1/N)*a =1/○、(1/N)*b =1/○、(1/N)*c =1/○と分子が1にならなければなりません。

　(1/N)*a+(1/N)*b+(1/N)*c=1/X+1/Y+1/Z=4/Nです。従って、(1/N)*a=1/X、a=N/Xです。第一項目はこれで分子は1になります。
　次に、第二項目に移ります。(1/N)*b=1/Yです。この時、bは分数で分子は1でなくてはなりません。何故なら、Nは素数なので、bの分子が1以外の自然数であると、通分することが出来ないからです。∴b=1/pです。そして、3つの項目は、分母を揃えなくては足し算をすることが出来ません。従って、b=T/Xと分母にXを使って表します。
　第三項目も同様に、c=S/Xと表します。3つの項の足し算をすると、(1/N)(a+b+c)= (1/N) (N+T+S)/X=4/Nとなります。従って、(N+T+S)/X=4でなくてはなりません。

　また、この様にも説明出来ます。
(N/X)+(1/p)+(1/q)=4の場合、N・X・p・qが互いに素であるとします。
(N/X)+(1/p)+(1/q)=(Npq+Xq+Xp)/Xpq=4、∴Npq+Xq+Xp=4 Xpq、Npq=X(4pq－p－q)です。両辺が等しいと言うことは、両辺が持つ約数が等しいと言うことです。しかし、XとN・p・qとは互いに素なので、NpqはXを約数に持ちません。従って、(N/X)+(1/p)+(1/q)=4は成立しません。
　Npq=X(4pq－p－q)が成立する条件を調べます。Nは素数なので、元々Xを約数に持ちません。従って、pとqはXを約数に持たなければなりません。p=mX、q=nXとします。すると、Npq=mnNX2=X(4mnX2－mX－nX)=X2(4mnX－m－n)、mnN=4mnX－m－n、N=4X－1/n－1/m、4X=N+1/m+1/nとなり、N・X・m・nが互いに素であっても成立します。
　p=mX、q=nXなので、1/p=1/mX、1/q=1/nXです。∴1/p=m/X、1/q=n/Xです。m=T、n=Sとすると、1/p=T/X、1/q=S/Xと表わすことが出来ます。

　また、T/X=1/○、S/X=1/○でなくてはなりません。従って、X=TSxです。これで、T/X=1/Sx、S/X=1/Txとなります。
　従って、エルデス・シュトラウスの予想が成立する為には、(N+T+S)/X=4とX=TSxの要件を満たす必要があります。但し、T・Sは自然数でなくても構いません。T+S=自然数、T*S=自然数であれば良いのです。何故なら、0.5/X=1/2Xと分子が1で表せれば良いからです。

　エクセルに算式を入力すれば、比較的簡単にこの条件を満たすTとSがあるか否か調べることが出来ます。N=8761まで調べましたが、全てのNにおいてTとSが存在していました。 Nが大きくなるに従い、試すことの出来るTとSの組み合わせが多くなり、予想は成立し易くなります。
　従って、この予想は成立すると予想しました。

N=素数かつ24の倍数+1