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運動する物体のエネルギー

T.質量増加

 v[m/s]で運動する物質は、静止時に比べて√(1-v2/c2)倍しか加速できません。これを『速度vで動く物質は、質量が1/√(1−v2/c2)倍増加した様に振舞う』と表現します。つまり、同じ運動エネルギーを加えても、v[m/s]で運動する粒子は、静止時の√(1−v2/c2)倍しか加速できません。

 これは、何故でしょうか。
 粒子は、光速に近づく程加速し難くなり、決して光速を超えることは出来ません。これは加速器の実験で実証済みです。では、v[m/s]で移動する物質は、静止時に比べてどれだけ加速し難くなるのでしょうか。

 カウフマンは、様々な速度の電子を磁力で上下左右方向へ曲げる実験を行いました。
 v[m/秒]で移動する電子は、上下左右方向に最大で√(c2-v2)[m/秒]までしか加速できませません。この時電子の速度は、ピタゴラスの定理を使うと、√{v2+√(c2-v2)2}=c[m/秒]=光速cとなります。これ以上、上下左右方向へ動くと、電子は光速cを超えてしまいます。

 静止時には最大c[m/秒]近くまで電子を加速することが出来ます。従って、v[m/秒]で移動する電子は、静止時に比べて√(c2-v2)[m/秒]÷c[m/秒]=√(1-v2/c2)倍でしか加速することが出来なません。
 カウフマンの実験はこのとおりの結果となりました。

 しかし、本当に質量が増加する訳ではありません。同じ力を加えてもv[m/秒]で移動する粒子は静止時の√(1-v2/c2)倍しか加速出来ないので、『まるで質量が1/√(1-v2/c2)倍増加した様だ』と表現します。
 これを相対性理論では、『m=m0/√(1-v2/c2) (m= v[m/秒]で移動する物体の質量、m0=静止時の物体の質量)』します。

 そして、粒子の速度が光速度cに達すると√(1-c2/c2)=0となり、全く動けなくなります。ですから、粒子は光速度cを超えて動くことはできません。

U.運動する物体のエネルギー

 では、運動する物体のエネルギーを求めます。相対性理論の方程式
m=m0/√(1-v2/c2)
の両辺にc2を掛けると
mc2=m0c2/√(1-v2/c2)
です。一方、運動量p=mv→v=p/mを代入すると
mc2=m0c2/√{1- (p/m)2/c2}=m0c2/√{1- (p/mc)2}
なので
m0c2/mc2=√{1- (p/mc)2}
です。これに、1=(mc2/mc2)2を代入すると
m0c2/mc2=√{ (mc2/mc2)2- (p/mc)2}
となります。この両辺にmc2を掛けると
m0c2=√{(mc2)2-(pc)2}
です。両辺を2乗すると
m02c4=(mc2)2-(pc)2
です。∴
(mc2)2= m02c4+(pc)2
なので
mc2=√{(m0c2)2+(pc)2}
です。
 特殊相対性原理より、全ての慣性系で「E=mc2」となります。したがって
v[m/秒]で移動する物体のエネルギーE=√{(m0c2)2+(pc)2}
です。∴
v[m/秒]で移動する物体の質量m=E/c2=√{(m0c2)2+(pc)2}/c2
です。

V.横質量増加

 一方『v[m/秒]で移動するm[s]の物体の縦(上下左右方向)質量増加は@m0/√(1−v2/c2)であり、横(進行方向)質量増加はAm0/{√(1−v2/c2)}3である』との主張があります。

 しかし、@とAの主張は真でしょうか。
 この命題が真であるなら、v慣性系で同じ力を加えても、方向により物体の速度は異なることになります。ではこの激しい主張を、詳しく吟味します。
力F=質量m×加速度a
です。ですから、同じ力Fを加えても、質量mが2倍になると1/2倍しか加速出来ません(初速度は0とします)。したがって静止時に比べ、縦方向には@√(1−v2/c2)倍の速度しか出ません。
 しかし、v慣性系の時計は1秒間に√(1−v2/c2)秒を刻むので
v[m/秒]で移動する観測者に観測される物体の速度v’=v√(1−v2/c2)[m/秒]÷√(1−v2/c2)倍=v[m/秒]
と、静止時と同じです。つまり「特殊相対性原理」が成立します。

 一方横方向には、静止時に比べA{√(1−v2/c2)}3倍の速度しか出ません。
 しかし、1秒間に√(1−v2/c2)秒を刻むので
v[m/秒]で移動する観測者に観測される物体の速度v’=v√(1−v2/c2)3[m/秒]÷√(1−v2/c2)倍=v(1−v2/c2)[m/秒]
と静止時とは異なります。これでは「特殊相対性原理」が成立しません。

 このように、@Aの命題が真であれば、同じ力を加えるとあらゆる方向へ等しく加速出来るのは「静止系」のみです。「移動系」では、同じ力を加えても方向により加速の仕方が変わります。
 つまり、全方向へ等しく加速できる系が「静止系」で、そうでない系は「移動系」です。
 しかし、相対性理論は「静止系」を否定します。ですから、この@Aの命題は「相対性理論」に反します。

 「横質量増加」は、アインシュタイン博士の最初の論文で、控え目に示されました。その後アインシュタイン博士は、全方向で「質量増加」は「m0/√(1−v2/c2)」とされました。この式より
v[m/秒]で移動する物体のエネルギーE=√{(m0c2)2+(pc)2}
が求まります。

W.高速移動する物体が動き難くなる仕組み

 では、「移動する物体が加速し難くなる仕組み」を説明します。
 電荷を帯びた粒子AとBが、v[m/秒]で並走しながら、電磁波(光子)を交換し合います。便宜上、AB間の距離をc[m]とします。
 静止時は、光子は縦方向も横方向も2秒で往復します。
 v[m/秒]で並走すると
光子の縦方向の往復距離=2c/√(1−v2/c2)[m]
となります。したがって
電子が往復するのに要する時間t=2c/√(1−v2/c2)[m]÷c[m/秒]=2/√(1−v2/c2)秒
です。
 静止時に比べ√(1−v2/c2)倍の光子しか交換されないので、生じる電磁気力は√(1−v2/c2)倍です。力が√(1−v2/c2)倍なので、速度は静止時の√(1−v2/c2)倍しか出ません。
 同じ操作をしても速度が√(1−v2/c2)倍しか出ないので、v慣性系では縦方向に物体の質量が1/√(1−v2/c2)倍に増加した様だと言います。
 しかし、v慣性系の時計は1秒間に√(1−v2/c2)秒を刻むので、
観測者が計る光子の往復時間t’=2/√(1−v2/c2)秒×√(1−v2/c2)倍=2秒
です。
 つまり、静止時と同じ時間で光子が縦往復します。ですから、観測者には縦方向に生じる電磁気力は静止時と同じ強さと見えます。これで「特殊相対性原理」は成立します。

 今度は横方向です。
 v[m/秒]になると縦方向の往復距離は2c/(1−v2/c2)[m]となります。しかし、物体は進行方向へ√(1−v2/c2)倍「ローレンツ収縮」します。したがって
電子が往復するのに要する時間t=2c/(1−v2/c2)[m]×√(1−v2/c2)倍÷c[m/秒]=2/√(1−v2/c2)秒
です。
 静止時に比べて√(1−v2/c2)倍の光子しか交換されないので、生じる電磁気力は√(1−v2/c2)倍です。力が√(1−v2/c2)倍となるので、速度は√(1−v2/c2)倍しか出ません。
 同じ操作をしても速度が√(1−v2/c2)倍しか出ないので、v慣性系では横方向に物体の質量が1/√(1−v2/c2)倍に増加したようだと言います。
 しかし、v慣性系の時計は1秒間に√(1−v2/c2)秒を刻むので
観測者が計る光子の往復時間t’=2/√(1−v2/c2)秒×√(1−v2/c2)倍=2秒
です。
 つまり、静止時と同じ時間で光子が横往復します。ですから、観測者には横方向に生じる電磁気力は静止時と同じ強さと見えます。これで「特殊相対性原理」は成立します。
 この様に相対性理論では、「質量増加」は縦方向も横方向も√(1−v2/c2)倍です。

X.減速もし難くなる

 以上のとおりv慣性系では、電磁気力の強さが全方向で√(1−v2/c2)倍となります。ですから、v[m/秒]で移動する粒子を更に加速する力も、反対に減速する力も√(1−v2/c2)倍になります。この理により、v慣性系では加速のみならず、減速も難しくなります。