重力や電磁気力は、ゲージ粒子であるグラビトンや光が粒子間を光速度cで往復することで生じます。2つの粒子が移動しながらゲージ粒子を交換すると、その間に働く力はどのように変化するでしょうか。
まず、横方向です。2つの粒子が前後に並んでv[m/s]で並走する時、ゲージ粒子の往復距離は静止時の1/(1-v2/c2)倍となります。しかし、v[m/s]で移動すると物質は進行方向へ√(1-v2/c2)倍にローレンツ収縮します。
ですから
ゲージ粒子の往復距離=1/(1-v2/c2)×√(1-v2/c2)=1/√(1-v2/c2)倍
です。
ゲージ粒子の往復距離が1/√(1-v2/c2)倍になると、往復回数は√(1-v2/c2)倍となります。つまり、粒子間に働く力は√(1-v2/c2)倍となります。
次は縦方向です。2つの粒子が上下に並んでv[m/s]で並走する時、ゲージ粒子の往復距離は静止時の1/√(1-v2/c2)倍となります。この時、物質は上下方向に変化しません。
ですから
ゲージ粒子の往復距離=1/√(1-v2/c2)倍
です。
ゲージ粒子の往復距離が1/√(1-v2/c2)倍になると、往復回数は√(1-v2/c2)倍となります。つまり、粒子間に働く力は√(1-v2/c2)倍となります。
この様に、高速で移動する粒子が加速し難くなるのは、ゲージ粒子の往復回数が落ち、力を粒子に与えにくくなるからです。
そして「力F=質量×加速度=ma」です。v[m/s]で移動する物質に同じ力Fを加えようとしても、上記のとおり物質には√(1-v2/c2)倍の力しか作用しないので、その加速度aは静止時の√(1-v2/c2)倍になります。つまり
F√(1-v2/c2)=m{a√(1-v2/c2)}
です。
これをv[m/s]で移動する物質は質量が1/√(1-v2/c2)倍に増えた様に振る舞うと表現すると
F={m/√(1-v2/c2)}{a√(1-v2/c2)}
となります。
いずれにしても、加速度はa√(1-v2/c2)となります。
また「速度=v0+at(v0=初速、a=加速度、t=時間)」です。ですから
静止している物質にFの力を加えた時の増加速度=0+at=at
v[m/s]で移動する物質にFの力を加えた時の増加速度=v+√(1-v2/c2)at-v=√(1-v2/c2)at
です。
つまり、v[m/s]で移動する物質に同じ力を加えても、縦方向にも横方向にも、静止時に比べて速度は√(1-v2/c2)倍しか増しません。
縦質量増加=1/√(1-v2/c2)倍、横質量増加=1/√(1-v2/c2)3との主張があります。このことについて述べます。
v[m/s]で移動すると実際に質量自体が1/√(1-v2/c2)倍になると仮定します。
縦方向(進行方向に向かって上下左右方向)に物質を押してもその移動速度vを変えないので、縦質量増加は1/√(1-v2/c2)倍のままです。
一方、横方向(進行方向)に押すと移動速度v自体を増すことになり、それだけ余計に質量が増加し動きにくくなるので、横質量増加は1/√(1-v2/c2)3となります。
しかし上記のとおり、v[m/s]で移動しても実際に質量が増加する訳ではありません。同じ力Fを加えても、縦方向も横方向も、静止時に比べ速度は√(1-v2/c2)倍しか増さないので、どちらの方向にも「まるで質量が1/√(1-v2/c2)倍に増えたようだ」と表現するのです。
アインシュタイン博士も、最終的には縦質量増加=横質量増加=1/√(1-v2/c2)倍であることを認められ、次のとおり表現されています。
m=m0/√(1-v2/c2) (m=v[m/s]時の質量、m0=静止時の質量、v=移動速度、c=光速度)
相対性理論の速度の加法則は、v[m/s]で移動する慣性系に居る観測者Aが見た時の計算方法です。
観測者Aはv[m/s]で移動しているので、時間と空間の座標が「ローレンツ変換」します。
観測者Aと共に移動する物質Mに、静止時ならu[m/s]速度を上げる力Fを加えると、時間と空間の座標が「ローレンツ変換」した観測者Aには、物質Mが幾らの速度と測定されるかと言う計算です。
この時、AにはMがv+u[m/s]ではなくて、相対性理論の速度の加法則のとおり、W=(v+U)/(1+(v*U)/c2)[m/s]と測定されます。
一方、静止者Bがこれを見ると、v[m/s]で移動する物質Mに静止時ならu[m/s]速度を増す力Fを加えても、u√(1-v2/c2)[m/s]の速度しか増せません。ですから、W=v+u√(1-v2/c2)と測定されます。
相対性理論は、高速移動したり強い重力が掛かって時間と空間の座標が変化した観測者Aの計算方法です。一方、ニュートン力学は静止しまた無重力下で時間と空間の座標が変化していない観測者Bの計算方法です。
この区別を良く理解しておく必要があります。