単振動する超ひもの長さは幾らか

�T.超ひもの振動

　プランク長lpの超ひもは、「真空の相転移」により結び付きます。そして、物理現象は結び付いた超ひもの振動で表現されます。
　その振動は正弦波の定在波です。単振動が超ひも上を伝わると正弦波になります。その正弦波は、両端をヒッグス粒子で止められ、定在波となります。
　そしてプランク力Fpで叩かれると、超ひもはプランク時間tpに1ラジアン単振動します。その時、超ひもはプランクエネルギーEpを持ち、質量はプランク質量mpの粒子(プランク粒子)となります。これが物質として振動する超ひもの最高角周波数であり、最も重い粒子です。
　結び付いた超ひもの振動で、物理現象を表します。ですから、プランク長lpよりも長い波が存在します。

�U.単振動の運動方程式

　以下でその証明をします。 　単振動の運動方程式�@「F=ma=-mω²x　(m=質量、a=加速度、ω=角速度、変位x=Asinωt、A=振幅,t=時間)」を使います。
　まず、プランク力Fpを超ひもに加えた時の振幅Aを求めます。プランク力Fpを加えると、超ひもの質量mはプランク質量mpに、角周波数ωはプランク角周波数ωpになります。
　Asinωtの最大値は、ωt=π/2の時sinπ/2=1なのでAです。このAが単振動の振幅です。故にωt=π/2の時
�@プランク力Fp= c⁴/G =-mp*ωp² *Asinωt=-mp*ωp²*A=-√(h^バーc/G) (c⁵/h^バーG)A
∴A=- (c⁴/G) √(G /h^バーc) (h^バーG /c⁵)= -√(h^バーG/c³)=-プランク長lp
です。
　つまり、超ひもはプランク力で押されると、振幅がプランク長-lpの単振動の波となります。

　※プランク力Fp=c⁴/G、プランク質量mp=√(h^バーc/G)、プランク角周波数ωp=√(c⁵/h^バーG)、プランク距離lp=√(h^バーG/c³)を使いました。

�V.単振動の力学的エネルギーE

　その時、その超ひもが持つエネルギーを計算します。�A「単振動の力学的エネルギーE=(1/2)ω²mA²」を使います。
生じる波のエネルギーE=(1/2)ωp²*mp*lp²=(1/2) (c⁵/h^バーG) √(h^バーc/G) (h^バーG/c³) =√(h^バーc⁵/G)/2=(1/2)Ep=プランクエネルギーEp×1/2
です。
　つまり、超ひもの中央をプランク力で押すと、振幅Aがプランク長lpの単振動が発生し、単振動は分かれて両端に向かいます。片方が物質波で他方が反物質波です。「物質波のエネルギー= Ep/2+反物質波のエネルギー= Ep/2=プランクエネルギーEp」です。これで、プランク力Fpで押された1本の超ひもは、プランクエネルギーEpを持つことが分かりました。

　※プランクエネルギーEp=√(h^バーc⁵/G)を使いました。

�W.単振動の加速度

　この時の超ひもの単振動の加速度を求めます。�B「単振動の加速度a=-ω²x」を使います。xの最大値はA=プランク距離lpでした。その時の振動の加速度を求めます。
超ひもの振動の最大加速度=-ωp²*lp=-(c⁵/h^バーG) √(h^バーG/c³)=-√(c^7/h^バーG)=-c√(c⁵/h^バーG)=-c/√(h^バーG/c⁵)=-c/tp=プランク加速度ap
です。
　つまり、超ひもの振動の最大加速度はプランク加速度apです。これはプランク時間tpで光速度cに達する加速度です。

　※プランク時間tp=√(h^バーG/c⁵)を使いました。

�X.単振動の速度

　この時の超ひもの単振動の速度を求めます。�C「単振動の速度v=Aωcosωt」を使います。cosωtの最大値は、ωt=0の時の1です。その時の振動の速度を求めます。
超ひもの振動の最大速度v=Aωcosωt =lp√(c⁵/h^バーG)= √(h^バーG/c³) √(c⁵/h^バーG)=√(c²)=c=光速度
です。
　つまり、超ひもの振動の最大速度は光速度cです。

�Y.単振動の周期

　この時の超ひもの単振動の周期を求めます。�D「単振動の周期T=2π/ω」より計算します。プランク角周波数ωp=プランク周波数2π/tpです。∴
超ひもの振動の周期=2π/ωp=2π/(2π/tp) =tp=プランク時間
です。
　つまり、超ひもの振動の周期はプランク時間tpです。∴超ひもはプランク時間tpに1ラジアン振動します。

�Z.弦を伝わる横波の速さ

　次に、弦の振動の方程式より、超ひもの振動が光速度cで伝わることを説明します。
　�E「弦を伝わる横波の速さv=√(T/ρ)　(T=張力[N]、ρ=線密度[kg/m])」を使います。
　物質として振動する最も重い1本の超ひも(長さはプランク長2πlp)はプランク質量Mpで、プランク時間tpに1ラジアン振動します。その時、超ひもの張力はプランク力Fp/2πです。
　したがって、張力T=Fp/2π=c⁴/2πG、万有引力定数G=lp³/Mptp²、線密度ρ=Mp/2πlpなので
弦を伝わる横波の速さv=√(T/ρ)=√{(c⁴/2πG)/(Mp/2πlp)}=√(c⁴lp*Mp*tp²/lp³Mp)=√(c²)=c=光速度
です。

�[.超ひもの張力

　では、プランク質量Mpの超ひもの張力を求めます。
　超ひもの波の長さは2πプランク長2πlpで、プランク質量Mpの時、プランク長の超ひもがプランク時間tpに1ラジアン振動します。ですから、角周波数ωは1/tp[rad/s]で、周波数fは1/2πtp[Hz]です。そして、山から山、谷から谷までが1つの波なので、超ひもの固有振動数n=2です。
　一方、�F「弦の周波数f=(n/2L)√(T/ρ)　{n=固有振動数、L=弦の長さ[m]、T=弦の張力[N]、ρ=線密度(1[m]当たりの弦の重さ[kg])}」です。
　したがって
プランク質量Mpの超ひもの周波数f=1/2πtp=(n/2L)√(T/ρ)=(2/{2*2πlp})√{T/(Mp/2πlp)}=(1/2πlp)√{T/(Mp/2πlp)}
　Mp=√(h^バーc/G)、lp=√(h^バーG/c³)、Mp/lp=c²/G
∴lp/tp=c=√{T/(Mp/2πlp)}、√(T)=c√(Mp/2πlp)=√(c⁴/2πG)、T=c⁴/2πG=プランク力Fp/2π
です。これでプランク質量の超ひもの張力がプランク力Fp/2πであることが分かりました。

�\.超ひもの振動の伝わる速さ

　2πプランク長でプランク質量mpの超ひもをプランク力/2πで張れば、その振動は光速度cになります。これは、物質として振動する最も重い粒子で「プランク粒子」と言います。物質はヒッグス粒子により静止させられているので、波はその場で円運動をします。これを横から見ると単振動になります。
　ですから、最も短い物質波は、半径プランク長lpの円周を1回回る間に1回振動するものです。故に、その波長λ=2πlpです。
　一方、光は直進するので、最も高い周波数の波は、波長λ=プランク長lp、周波数f=1/tp、張力2πFp、質量2πmpです。
　この数値を、弦の周波数の公式と弦を伝わる横波の速さの公式に当てはめて見ましょう。
2πプランク質量2πMpの超ひもの周波数f=1/tp=(n/2L)√(T/ρ)=(2/{2lp})√{2πFp/(2πMp/lp)}=(1/lp)√{Fp/(Mp/lp)}=c/lp=1/tp
です。
弦を伝わる横波の速さv=√(T/ρ)=√{(2πc⁴/G)/(2πMp/lp)}=√(c⁴lp*Mp*tp²/lp³Mp)=√(c²)=c=光速度
です。

　つまり、光速度cがものの速度の上限であることが、超ひもの長さはプランク長lpであることを証明しています。