リュードベリの式の意味と求め方

�T.電子の軌道

　水素の原子核の周りを、電子が回っています。電子の軌道を内側から、n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10・・・∞と付番します。

　電子は、外側の軌道n'から内側の軌道nに移る際光を放出します。その光の波長λ[m]は、「リュードベリの式」で次のとおり表わします。(逆に、内側の軌道nから外側の軌道n'に移る際光を吸収します。)

1/λ=R(1/n²‐1/n'²) (R=リュードベリ定数、n=移動前の内側の軌道番号、n'=移動後の外側の軌道番号)
です。

�U.リュードベリ定数R

　そして、「リュードベリ定数R=(me*e⁴)/(8ε0²*h³*c)　(me=電子の質量、e=電気素量、ε0=真空の誘電率、h=プランク定数)」です。
　これから、その求め方を説明します。

�V.ボーアの量子条件とド・ブロイ波長

　電子は正弦波としての性質も持ち、原子核の周りを公転する際、自然数回振動します。即ち、軌道1では1回、軌道2では2回、軌道nではn回波打ちます。

　電子の波長=λとすると、電子が公転する円周の長さL=nλなので
電子の公転半径r=L/2π= nλ/2π
です。
　一方、物質の波長は「ド・ブロイ波長λ=h/mv (h=プランク定数、m=質量、v=速度)」なので
電子の公転半径�@r= nλ/2π=nh/(2π*me*v)
です。

�W.遠心力と静電気力

　電子は、公転による遠心力Fと、原子核の静電気力F'が釣り合う軌道上を公転します。
遠心力F=mv²/r
静電気力F'=(1/4πε0)q1q2/r²　(ε0=真空の誘電率、q1=q2=電荷)
なので
電子に掛かる遠心力F=me*v²/r=(1/4πε0)q1q2/r²=電子に働く静電気力F'=(1/4πε0)e²/r²、�Ame*v²=(1/4πε0)e²/r
です。

　�Aに�@を代入すると
�Ame*v²=(1/4πε0)e²÷nh/(2π*me*v)=e²*me*v/2ε0*nh、�Bv= e²/2 nh*ε0
です。�Bを�@に代入すると
�@r= nh/{2π*me*(e²/2 nh*ε0)}= nh/(2π*me)×(2 nh*ε0/e²)=�Cr=n²*h²*ε0/πe²*me
です。

�X.運動エネルギーと位置エネルギー

　そして
�D水素原子の電子の運動エネルギーK=(1/2)me*v²
�E水素原子の電子の位置エネルギーU=(1/4πε0)q1q2/r
です。
　水素原子は1つの陽子と1つの電子なので、q1=e、q2=-eです。∴
�F水素原子の電子の位置エネルギーU=‐(1/4πε0)e²/r
です。
　そして、�Dに�Bを、�Fに�Cを代入すると
�G水素原子の内側からn番目の軌道上の電子の運動エネルギーK=(1/2)me*v²=(1/2)me×(e²/2 n*h*ε0)²
�H水素原子の内側からn番目の軌道上の電子の位置エネルギーU=‐(1/4πε0)e²÷(n²*h²*ε0/πe²*me)=‐me(e²/2n*h*ε0)²
です。

�Y.発光スペクトル

　したがって
�G水素原子の内側からn'番目の軌道上の電子の運動エネルギーK=(1/2)me×(e²/2 n'*h*ε0)²
�H水素原子の内側からn'番目の軌道上の電子の位置エネルギーU=‐me(e²/2n'*h*ε0)²
です。

　ですから、電子は外側の軌道n'から内側の軌道nに移る際
必要とする運動エネルギーK={(1/2)me×(e²/2 n*h*ε0)²}-{(1/2)me×(e²/2 n'*h*ε0)²}=(me*e⁴)/(8ε0²*h²)(1/n²-1/n'²)
位置エネルギーUの変化による運動エネルギーKの増加=‐me(e²/2n'*h*ε0)²‐{‐me(e²/2n*h*ε0)²}=me(e²/2n*h*ε0)²‐me(e²/2n'*h*ε0)²=(me*e⁴)/(4ε0²*h²)(1/n²-1/n'²)
です。

∴余分な運動エネルギーK'=(me*e⁴)/(4ε0²*h²)(1/n²-1/n'²)- (me*e⁴)/(8ε0²*h²)(1/n²-1/n'²)= �IE=(me*e⁴)/(8ε0²*h²)(1/n²-1/n'²)
です。
　この余分な運動エネルギーK'が光として放出されます。

　その放出される光の周波数をf、波長をλとすると
光のエネルギーE=hf、�Jf=E/h
光の波長λ=c/f、�K1/λ=f/c
なので、�Jに�Iを、�Kに�Jを代入すると
�K1/λ= E/hc=(me*e⁴)/(8ε0²*h²)(1/n²-1/n'²)÷hc=(me*e⁴)/(8ε0²*h³*c) (1/n²-1/n'²)=R (1/n²-1/n'²)
です。
　これで、「リュードベリ定数R=(me*e⁴)/(8ε0²*h³*c)」が求まりました。

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