素数には、無限に大きな数があるでしょうか。それとも、最大の素数が存在し、それ以上大きい素数はないのでしょうか。
一方では、素数は有限で、最大のものがあるとの考え方があります。自然数を1から小さい順に並べます。素数の倍数は素数ではありません。従って、一番先に全ての2の倍数が、素数から除かれます。二番目に全ての3の倍数が素数から除かれます。順番に、5、7、11、17、19の倍数も素数から除かれて行きます。これを続けると、どんどん素数と素数の間隔が広がって行きます。この様にして、素数の倍数を除いていけば、とうとう最後の1つを除いてしまうことになるのではないかと考えます。そうなると、それ以上大きな素数はないことになります。
しかし、現実には、素数には無限に大きな数があります。以下のようにして、簡単に説明出来ます。
ある素数をpとします。そのpとpより小さい全ての素数を掛けます。その答えをqとします。qは、pとpより小さい全ての素数の倍数です。qに1を足します。q+1は、pより小さい全ての素数では割ることは出来ません。なぜなら倍数に1を足すと元の数では割ることは出来ないからです。ですからpが幾ら大きな数になっても、より大きいq+1の素数が存在します。
p*(pより小さい全ての素数の積)=q、q+1=素数、∴常にpより大きい素数q+1は存在する。
この様に、無限に大きな素数があります。
現在、発見されている最大の素数は(2の5788万5161乗－1)ですが、それ以上大きな素数を見つけることが出来ます。(2の5788万5161乗－1)とそれより小さい全ての素数を掛けて1を足し因数分解すれば良いのです。2からｐまでの素数を掛けたqに1を足した(q+1)は、１からｐまでの素数で割り切れることはありません。ですから、ｐから(ｑ+1)間には必ず素数が存在します。
(ｑ+1)は、①素数であるか、②pよりも大きい素数からなる合成数のどちらかです。
しかし、私が言いたい事は、判明している最も大きな素数pよりも大きな素数は、必ず存在すると言うことです。これを証明出切れば、私のテーマである「素数には無限に大きな数がある。」を証明したことになります。
(q+1)がpよりも大きな素数の積で表されたとしても、pよりも大きな素数があることに変りはありません。判明している最も大きな素数よりも大きな素数は、必ず存在しています。ですから、ご指摘の点は「素数には無限に大きな数がある」の証明には影響しません。