相対性理論の速度の加法則

　ローレンツ変換は x'=(x-vｔ)/√（1-v²/c²）
y'=y
z'=z
です。
　光の座標を=P(x,y,z)=(ctθ,ct*sinθ,0)と平面で表すと、 x=ct*cosθなので
x'=(ct*cosθ-vｔ)/√（1-(v²/c²)）
です。
　横方向は(x,y,z)=(ct*cosθ,ct*sinθ,0)=(ct,0,0)であるので、これをローレンツ変換に代入すると
x'=(ct-vｔ)/√（1-(v²/c²)=t*(c-v)*c/√(c²-v²)=ct*√(c-v)/√(c+v)
y'= 0
z'= 0
となります。

　この式は、速度vで移動する慣性系では、進行方向へ距離の定義が
1/{√(c-v)/√(c+v)}=√(c+v)/√(c-v)倍
伸びると言う意味です。速度v慣性系の中の速度u慣性系では、その距離の定義は
{√(c+v)/√(c-v)}*{√(c+u)/√(c-u)}倍
に伸びます。速度w慣性系では、その距離は
{√(c+w)/√(c-w)}倍
に伸びます。その伸び率が同一なので
{√(c+w)/√(c-w)}={√(c+v)/√(c-v)}*{√(c+u)/√(c-u)}
です。この式を、wについて解きます。

　両辺を2乗すると
{(c-v)/(c+v)}*{ (c-u)/(c+u)}= (c-v) (c-u) /(c+v) (c+u)= (c-w)/(c+w)
(c+w) (c-v) (c-u)= (c-w) (c+v) (c+u)
w{ (c-v) (c-u)+ (c+v) (c+u)}=2w(c²+vu)= c{(c+v) (c+u)-(c-v) (c-u)}=2c²(v+u)
2w(c²+vu) =2c²(v+u)
w(c²+vu) =c²(v+u)
w= c²(v+u)/ (c²+vu)= (v+u)/ (1+vu/c²)

�@w=(v+u)/(1+(v*u)/c²)
となり、横方向の「速度の加法則」が導かれます。