★第一部光速度  近日点の移動 マックスゥエル マイケルソンとモーレー 光行差 C−Vcosθ 物質収縮 自然哲学 物質変化 静止系 光速度不変の要請 逆変換 レーザー 速度の加法則 横ドップラー 時空間の変化 ローレンツ収縮 リングレーザージャイロ 同時性の相対性 ウラシマ効果 物質波

「速度の加法則」をローレンツ変換より導く

1.古典的な「速度の加法式」

 速度Vq/秒と速度Uq/秒を加えると、速度Wq/秒になるとする。古典的な計算方法では、
(V+U)q/秒=Wq/秒
となる。しかし、V=U=Cの時、W=2Cq/秒となり矛盾する。

2.ローレンツ変換による速度の加法則

 Aが東から西に20万q/秒で移動しながら、西から東に20万q/秒で移動するBを観測します。その時、AにはBはどの位の速度で移動していると見えるでしょうか。

 特殊相対性理論における「速度の加法則」は、ローレンツ変換から導かれるのです。
 ローレンツ変換は次の通りです。
@t’= (t−Vx/C2) / √(1−V2/C2
Ax’=(x−Vt)/√(1−V2/C2
By’= y
Cz’= z
DC’=C
 物質が高速で移動すると、物質にとっての時間と空間の定義が変化します。ご質問での設定は、Aは東から西へ移動し、Bは西から東に移動しているので、進行方向(X軸方向)の速度の加法則です。ですから、BとCはここでは考慮しないことにします。

 Vq/秒で移動するPが持っている時計は、静止者Qが持っている時計がt刻む間に、Pの時計は@t’= (t−Vx/C2) / √(1−V2/C2)しか刻まなくなります。そして、PはX軸方向(進行方向)の距離は、xqをAx’=(x−Vt)/√(1−V2/C2)qと測る様になります。

 例えば、光は1秒間に299,792.5q(以下Cqと言う)進みます。この光を、観測者PがVq/秒で 並走しながら観察します。静止者Qには、光の進んだ時間はt秒で、光の進んだ距離Ex=Ctqです。これを、観測者Pが見ると、@にEをAにEを代入して
Pから見た光の進んだ時間Ft’=t(1−V/C)/√(1−V2/C2)=t*√(C−V)/√(C+V)
Pから見た光の進んだ距離Gx’=t(C−V)/√(1−V2/C2)=Ct*√(C−V)/√(C+V)
 従って、観測者Pの見た光の速度=G÷F=Cq/秒と「光速度不変」となります。

 この様に、V慣性系ではt秒がt*√(C−V)/√(C+V)秒と、CtqがCt*√(C−V)/√(C+V)qと測定されます。つまり、時間と空間の座標が√(C−V)/√(C+V)倍となります。V慣性系の中でUq/秒で移動すると時間と距離の座標は
H{√(C−V)/√(C+V)}*{ √(C−U)/√(C+U)}
倍となります。また、Wq/秒で移動すると時間と距離の座標は
I√(C−W)/√(C+W)
倍となります。
Vq/秒+Uq/秒=Wq/秒なので
H{√(C−V)/√(C+V)}*{ √(C−U)/√(C+U)}=I √(C−W)/√(C+W)
です。

 この式を、これをWについて解きます。両辺を2乗すると
{(C−V)/(C+V)}*{ (C−U)/(C+U)}= (C−V) (C−U) /(C+V) (C+U)= (C−W)/(C+W)
(C+W) (C−V) (C−U)= (C−W) (C+V) (C+U)
W{ (C−V) (C−U)+ (C+V) (C+U)}=2W(C2+VU)= C{(C+V) (C+U)−(C−V) (C−U)}=2C2(V+U)
2W(C2+VU) =2C2(V+U)
W(C2+VU) =C2(V+U)
W= C2(V+U)/ (C2+VU)= (V+U)/ (1+VU/C2)
W=(V+U)/(1+(V*U)/C2)

@W=(V+U)/(1+(V*U)/C2)
となり、横方向の「速度の加法則」が導かれます。

V=20万q/秒、U=20万q/秒をIに代入すると
W=27.7万q/秒となります。

3.速度を加算してもCを超えない理由

 V=U=Cとすると、
@W=(C+C)/(1+(C*C)/C2)=2C/2=Cq/秒
であり、光速を出せるエネルギーの2倍のエネルギーを物質に加えても、その速度は光速にしかならない
幾ら主観的速度を加算しても、その速度はCを超えることはない。

 客観的には、速度Vの慣性系で静止系と同じだけ加速するには、エネルギーが
1/√(1−V2/C2)倍
必要となる。VがCに限りなく近づくと、必要となるエネルギーは∞大に近づく。 幾らエネルギーを与えても速度はCを超えることはない。

4.物質の動く仕組み

 物質は、超ひもの振動であり、物質の移動は超ひもの振動の伝播である。超ひもの振動自体がCで伝わる。
 本来物質としての振動は、Cで伝播する。しかし、波を見ると分るように、振動は伝播すると広がって進む。 光同士は引き合わないので、そのままCで進む。物質同士は4つの力により引き合うので、元の大きさに戻ろうとする力が 抵抗として働く。
 物質は本来Cで進もうとするが、C2の面積に広がろうとし、それを元の大きさに戻す力C2が抵抗として働く。 その為、進もうとする力より抵抗力の方が大きく、物質は静止している。V2/C2の割合の物質が、 エネルギーを得て光速で動こうとすると、その速度はVq/秒となる。全ての物質がエネルギーを得ても、全体が光速で動こうするだけで、 その速度はCを越える事はない。

5.ローレンツ変換から直接導く方法

 今度は、Aから見たBの速度を、ローレンツ変換から直接導いて見ましょう。
 相対論では、高速で移動すると物質は動き難くなると考えます。そして、カウフマンにより、その事実は証明されました。現在では、加速器の実験で普通に観測される事実となっています。高速で移動する時計は、内部の部品が動き難くなり遅れます。これをローレンツ変換では
@t’= (t−Vx/C2) / √(1−V2/C2
と表します。この時間の変換式の導き方は後述します。

 また、原子が高速で移動すると、原子核を回っている電子が動き難くなります。その為に、電子の回転速度が落ち遠心力が弱まります。すると、電子は原子核からの電磁力に引かれ原子は収縮します。この仕組みにより、Vq/秒で移動する物質は、進行方向に√(1−V2/C2)倍「ローレンツ収縮」します。

 V慣性系では、定規が√(1−V2/C2)倍にローレンツ収縮するので、距離は1/√(1−V2/C2)倍長く測定されます。その間、観測者自身がVtq移動しているので、その分距離は短く測定されます。上下左右方向には変化はありません。
 この仕組みにより、「ローレンツ変換」では、空間の座標の変換式を
Ax’=(x−Vt)/√(1−V2/C2)
By’=y
Cz’=z
としています。

 光の座標を、光をP(x,y,z)=(Ct*cosθ,Ct*sinθ,0)とします。
 光P(x,y,z)は、V慣性系ではP’(x’,y’,z’)に変換されるので
V慣性系で電磁波の進んだ距離D=√(x’2+y’2+z’2)q=(C−Vcosθ)t/√(1−V2/C2)q
です。
 V慣性系でも、光の相対速度がCq/秒と不変となる為には、
光の進んだ時間Et’=(C−V*cosθ)t/C*√(1−V2/C2)秒
でなくてはなりません。これで、
V慣性系の光速度C’=D÷E=(C−V*cosθ)t/√(1−V2/C2)q÷(C−V*cosθ)t/C*√(1−V2/C2)秒=Cq/秒
と「光速度不変」となります。

 また、光の座標のX軸の値x=Ct*cosθなので、cosθ=x/Ctです。これをEの時間の変換式に代入すると、
光の移動時間@t’=(C−Vx/Ct)t/C*√(1−V2/C2)秒=(t−Vx/C2)/√(1−V2/C2)秒
となります。
 @ABCDをまとめると、「ローレンツ変換」が導かれます。
@t’= (t−Vx/C2) / √(1−V2/C2
Ax’=(x−Vt)/√(1−V2/C2)
By’=y
Cz’=z
 では、Aが見たBの相対速度を求めます。Aは20万km/秒=2C/3q/秒で移動しているので、V=2C/3q/秒です。Bの相対速度は、Aから見たBの移動距離÷Aから見たBの移動時間で求めることが出来ます。
 静止者がBの移動距離を見ると(x,y,z)=(−2Ct/3q,0,0)です。これをAが見るとx'=(x−Vt)/√(1−V2/C2)=(−2Ct/3−2Ct/3)÷√(1−(2C/3)2/C2)=(−4Ct/3)÷√(5)/3=−4Ct/√(5)qとなります。
 静止者がBの移動時間を計るとt秒です。これをAが計るとt’=(t−Vx/C2)/√(1−V2/C2)={t−(2C/3)×(−2Ct/3)}÷√(1−(2C/3)2/C2)=(13t/9))÷√(5)/3=13t/3√(5)秒です。

 従って、Aから見たBの相対速度=−4Ct/√(5)q÷13t/3√(5)秒=(−12/13)Cq/秒です。この様にAがBを見ると、反対方向に光速の12/13倍の速さ=27.7q/秒で進んでいると観測されます。