v[m/s]で移動する物体は、進行方向へ√(1-v2/c2)倍「ローレンツ収縮」します。その仕組みを説明します。
速度vで移動する物体は、進行方向(縦方向)に1/√(1-v2/c2)3倍・上下左右方向(横方向)には1/√(1-v2/c2)倍質量が増加した様に振舞います。つまり、vで移動する物体に同じ力を加えても、縦方向は静止時の√(1-v2/c2)3倍・横方向は静止時の√(1-v2/c2)倍しか加速出来ません。これを「縦質量増加」「横質量増加」と言います。
原子核の周りを回る電子は、回転による遠心力と原子核の電磁気力が釣り合う軌道上を回ります。
原子が高速移動する時、回転する電子の「横方向の軌道」からまず説明します。以下、「ローレンツ因子γ」=1/√(1-v2/c2)とします。では始めます。
F=maです。したがって、同じ力を加えても横方向にmがγ倍になると、加速度aは1/γ倍になります。
円運動の加速度「a=rω2=v2/r」です。横方向にrの変化はありません。ですから、r'=rです。∴
電子の円運動の加速度a'=(1/γ) a=(1/γ)rω'2=r{√(1/γ)ω}2={√(1/γ)v}2/r
です。つまり、角速度ωも速度vも√(1/γ)倍になります。
そして、遠心力「F1=mrω2=mv2/r」です。∴
電子に働く遠心力F2=γm*r*{√(1/γ)ω}2=mrω2=γm{√(1/γ)v}2/r= mv2/r=F1
です。このとおり、横方向で遠心力の強さに変化はありません。
次は、「縦方向の電子軌道半径rの変化」を説明します。上記のとおり、縦方向に電子はγ3倍質量が増加した様に振舞います。したがって、同じ力を加えても、①加速度aは(1/γ)3倍になります。
円運動の加速度a=rω2=v2/rです。そして
電子の円運動の加速度a'=(1/γ) 3*a=(1/γ)3*r'ω'2=(1/γ)3*v'2/r'
です。ではこの時、rとωとvはどの様に変化するでしょうか。
角運動量「L=m*r2*ω=mrv」です。この角運動量Lが保存されます。ですから、mがγ3倍になると、rとωは(1/γ)倍になります。また、v=rωなので、rとωが(1/γ)倍になると、v'=(1/γ)r*(1/γ)ω=(1/γ)2*vとなります。つまり、速度vは(1/γ)2倍となります。そうすると
電子の円運動の加速度a'=(1/γ)r* {(1/γ)ω}2=(1/γ)3*r*ω2= {(1/γ)2*v}2/(1/γ)r=(1/γ)3*v'2/r=(1/γ)3*a
と①を満たします。
そして、遠心力F1=mrω2=mv2/rです。∴
電子に働く遠心力F2=(γ3)m*(1/γ)r*{√(1/γ)ω}2=mrω2=(γ3)m {(1/γ)2*v}2/(1/γ)r= mv2/r=F1
です。
このとおり、電子の軌道半径rが(1/γ)倍になると、縦方向で遠心力の強さに変化はありません。
※慣性力は自分自身が発したグラビトンを、自分が受け取ることで生じます。つまりv[m/s]で移動すると、過去自分が居た位置Aから発せられたグラビトン(光速度cで移動する)を受け取るので、A方向へ万有引力が働きます。これが動き難さ(質量)です。
原子がv[m/s]で移動すると、グラビトンの往復距離が縦方向で(1-v2/c2)倍・横方向で√(1-v2/c2)倍となります。しかし、横方向には√(1-v2/c2)倍「ローレンツ収縮」するので、縦方向もグラビトンの往復距離は√(1-v2/c2)倍となります。
一方時間の座標も、v慣性系では√(1-v2/c2)倍となるので、生じる遠心力の強さは縦方向も横方向も静止時と同じです。
次に、電子に作用する電磁気力について説明します。
電磁気力は、電磁波(=光)が電荷を帯びた粒子間を往復して生じます。そして、2つの粒子がv[m/s]で並走する時、電磁波の往復距離は、進行方向(縦方向)に(1-v2/c2)倍・上下左右方向(横方向)に√(1-v2/c2)倍長くなります。しかし、2つの粒子間の距離が進行方向に√(1-v2/c2)倍「ローレンツ収縮」すると、縦も横も電磁波の往復距離は静止時の√(1-v2/c2)倍となります。
つまり電磁波は、静止時の1/√(1-v2/c2)倍の時間で粒子間を往復します。しかし、v慣性系では時間の座標が√(1-v2/c2)倍なので
電磁波の往復時間=1/√(1-v2/c2)倍×√(1-v2/c2)倍=1倍
と静止時と同じ時間です。
このとおり、電子に作用する原子核からの「電磁気力」の強さは、横方向は電子の軌道半径rが変化しない時静止時と同じです。縦方向はrが√(1-v2/c2)倍収縮した時静止時と同じです。
この様に、軌道半径rが縦方向に√(1-v2/c2)倍収縮し、横方向には変化しない時、遠心力と電磁気力は釣り合います。ですから、電子は双方が釣り合う縦方向に√(1-v2/c2)倍「ローレンツ収縮」した軌道上を回ります。この理により、v[m/s]で移動する原子は進行方向へ√(1-v2/c2)倍「ローレンツ収縮」します。
この時、電子の「力学的エネルギー」は保存されません。惑星の公転運動の場合、惑星の位置エネルギー+運動エネルギー=力学的エネルギーであり、この力学的エネルギーが保存されます。
しかし、電子の回転運動では、他の軌道に移る時、光を放出又は吸収し速度を変えて移動します。ですから、電子の回転運動では電子の「力学的エネルギー」は保存されません。∴慣性力を考慮しなくても良いのです。
この様に、電子の軌道は縦方向に(1/γ)倍収縮しますが、観測者が持っている定規も進行方向に(1/γ)倍「ローレンツ収縮」します。ですからvで移動する観測者は、電子の軌道半径が(1/γ)倍となったことに気が付きません。
v[m/s]で移動する原子の電子の軌道半径が、①「進行方向に√(1-v2/c2)倍短くなり、上下左右方向に変化しない」時、軌道上では常に「電磁気力」と「遠心力」が釣り合います。そして、その「電磁気力」と「遠心力」の強さは静止時と同じです。また、全ての方向でそれらの強さは同じです。これを「特殊相対性原理」と言います。
では、アインシュタイン博士の著書から「ローレンツ短縮」を説明したお言葉を引用します。
http://koshiro56.la.coocan.jp/contents/relativity/contents/relativity1012.html
＞速度vで長さの方向に動く剛体のメートル棒の長さは√(1-v2/c2)[m]となることが分かる。それゆえ、運動する剛体棒は同じ静止状態にあるときの棒よりも短くなり、その上運動が速くなればなるほど、それだけ短くなるのである。速度v=cとなると√(1-v2/c2)=0となり、さらに速度が大きくなると平方根は虚数となる。そのことから、相対性理論では、速度cは現実の物体にとって、到達できずまた超えられない一つの限界速度の役を努めていると結論される。・・・もしガリレイ変換にもとづいたならば、運動にともなって測量棒が短縮するとはいえなかったであろう。＜以上です。
この様に、v[m/s]で移動する定規が√(1-v2/c2)倍に収縮するので、距離は1/√(1-v2/c2)倍長く測定されます。またその間に、観測者A 自身がv[m/s]でt秒間移動しているので、その分距離が短く測定されます。すなわち、進行方向の距離は
①x'=(x-vｔ)/√（1-v2/c2）
です。それ以外の方向に変化はありません。ですから
②y'= y
③z'= z
です。これで「ローレンツ変換」の空間部分が導かれました。なお時間部分は、「光速度不変の原理」より導かれます。