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思考実験同時性の相対性
列車の中で光は前後に同時に届くか
この宇宙には光速以上で伝わるものはありません。ですから、列車の前端と後端に光が到達したことを知るには、光を使う以外にありません。
左図を見て下さい。列車の長さを、2c[m](299,792.5×2[m])とします。中央に乗客が居ます。そして、前端と後端に鏡を取り付け、乗客がライトで前と後を照らします。静止時には、前後の鏡に光が届くのはc[m]÷c[m/s]=1秒です。そして、反射して乗客に戻って来るのに、更に1秒掛かります。∴2秒後に乗客は前後の鏡に光が届いたことを知ります。
では、列車が、v[m/s]で移動するとどうなるでしょうか。前に進む光(青)の速度は(c-v)[m/s]です。従って、前端の鏡に光が届くのにc/(c-v)秒掛かります。反射して戻って来る時の光(赤)の速度は(c+v)[m/s]です。従って、乗客の元に戻るのにc/(c+v)秒掛かります。光の往復には、c/(c-v)秒+(c+v)[m/s]=2c2/(c2-v2)=2/(1-v2/c2)秒掛かります。
後に進む光の場合はこの逆です。後端の鏡に光が届くのに要する時間はc/(c+v)秒で、反射して乗客の元に戻って来るのにc/(c-v)秒掛かります。従って、往復でやはり2/(1-v2/c2)秒掛かります。
この様に、乗客は、光が前後の鏡に届いたことを同時に知ります。
列車がローレンツ収縮する
しかし、v[m/s]で移動すると、時間と空間の定義が変化します。
列車を構成する粒子は、お互いに接し合っている訳ではありません。粒子間に働く引力と斥力の釣り合う一定距離を保っています。高速移動すると、電磁波の往復距離が変化し電磁力の強さが変わる為に、粒子間の距離が縮みます。その結果、物質は進行方向へ√(1-v2/c2)倍と収縮します。これをローレンツ収縮と言います。
従って、列車の長さが√(1-v2/c2)倍となるので、光は2×√(1-v2/c2)/(1-v2/c2)秒=2/√(1-v2/c2)秒で往復して、乗客の元に戻ります。
列車の中の時計の遅れ
また、v[m/s]で移動すると、物質を構成する粒子は静止時の√(1-v2/c2)倍しか動けなくなります。このことは、加速器の実験やカウフマンの実験でも証明されています。相対性理論では、これをm=m0/√(1-v2/c2)と表します。
例えば、v[m/s]で移動する粒子を、進行方向に向かって上下左右方向へ動かします。その方向へ動かせる限度は√(c2-v2)[m/s]までです。この時、粒子の速度は、√{v2+(√(c2-v2))2}=c[m/s]となります。これ以上粒子が、上下左右方向へ動けば、その速度は光速を超えてしまい矛盾します。
静止時には、その方向へはc[m/s]まで動かすことが出来ました。従って、v慣性系では、静止時の√(c2-v2)[m/s]÷c[m/s]=√(1-v2/c2)倍しか動かせないことが分かります。
速度は質量に反比例します。同じ力を加えても、質量が2倍になれば速度は1/2倍となります。従って、v慣性系では、粒子が√(1-v2/c2)倍しか動けなくなることを、「v[m/s]で移動する粒子は、質量が1/√(1-v2/c2)倍に増加した様に振る舞う」と表現するのです。
この様に、v[m/s]で移動する時計を構成する粒子は動き難くなります。原子時計のクォーツの振動回数も減ります。時計の部品も動き難くなります。そして、時計は1秒間に√(1-v2/c2)秒を刻む様になります。
また、私の肉体を構成する粒子も動き難くなります。私は、ゆっくりと動き思考し年を取る様になります。私が静止している人を見ると、あたかもその人に流れている時間は速く経過している様に見えます。
従って、v[m/s]で移動する列車の中の時計は、2/√(1-v2/c2)秒間に2秒を刻みます。ですから、列車の前端と後端に反射した光は、乗客の元に静止時と同じ2秒で戻って来ます。
同時性の相対性
しかし、前端の鏡と後端の鏡に光が到達した時は異なると思えます。一方、物理学上の力は、ゲージ粒子が光速で物質間を往復することにより、作用反作用の形で生じます。電磁力を例にすると、電磁波(光の一種)が光速で物質間を1往復すると物質間に引力又は斥力が生じます。ですから、電磁波が何時相手の物質に到達したかは問題となりません。電磁波が往復する時間に応じた強さの電磁気力が生じるからです。
ですから、往路も復路も電磁波の速度はc[m/s]で不変と仮定して往復時間を計算し、生じる電磁力の強さを計算した方が便利です。v慣性系では、上記の通り、静止時と同じ時間で電磁波は物質間を往復するので、生じる電磁気力の強さは同じと観測されます。これを、「全ての慣性系で物理の方程式は同じ形を採る」と言います。
そして、電磁波が相手の物質に到達した時は異なりますが、上記の通り、それを同時と仮定して物理計算をしても良いのです。これを「同時性の相対性」と言います。
この光を、列車の外に居る静止者が観測すると、光は乗客から発し前後の鏡に反射して静止者に届くので、当然、異なる時に光は前後の鏡に反射したと観測されます。
