プランク距離とプランク時間の求め方

Ⅰ.「プランク距離」と「プランク時間」とは

空間の最小単位であるプランク距離lp= (1.616199×10^-35)ｍ、時間の最小単位であるプランク時間tp= (5.39106×10^-44)秒です。

Ⅱ.相対性理論の限界

　一般相対性理論が成り立つのは「プランク距離」までであり、それより小さい空間では一般相対性理論は変更を迫られます。
　プランク長の微小な空間の中には「超ひも」があり、その微小な空間内で起こる現象は、自由に伸びたり縮んだりして振動する「超ひも」により表現されます。そして一本の「超ひも」は、プランク長の空間内にあり、その長さは「おおむねプランク長」と考えられています。

　では、何故プランク長の微小な空間では、相対性理論が変更を迫られるのでしょうか。
　物質間に働く万有引力は、質量に比例し距離の2乗に反比例します。従って、重力加速度は
①g(重力加速度)=G*M/R²
と表されます。G(重力定数)=6.67384×10^-11(単位：m³㎏^-1s^-2)・M=相手の物質の質量(単位：㎏)・R=物質間の距離(単位：m)です。
　この方程式は、1㎏の物体Pから1ｍ離れた物体Qは、物体Pの重力により毎秒6.67384×10^-11ｍ/秒づつ加速されることを表しています。

　相対性理論では、質量を大きさのない点と考えます。そうすると、2つの質量PとQは無限に近づくことが出来ます。万有引力の強さは、距離の2乗に反比例するので、そうなるとPQ間に働く引力は無限大となってしまいます。これでは、あらゆる物質は無限大の力でくっ付いてしまい離れなくなります。
　しかし、現実にはこの様なことは起こりません。2つの質量は「ある距離(最小距離=②「プランク距離lp」)」よりも近づくことが出来ないからです。

Ⅲ.この世の最速とは

　そして、この世の最短距離②をこの世で最速の③光速c(2.997924×10⁸) ｍ/秒で移動するのに要する時間が、この世の最小時間(④プランク時間tp)です。ですから
⑫{②プランク距離lp÷④プランク時間tp=③光速(cｍ/秒)}
⑫lp/tp=c
です。

Ⅳ.この世の最大の加速度とは

　そして、この世の⑤最大加速度は、最短時間(プランク時間)で最高速度の光速に達するものです。その加速度をg(ｍ/s²)とすると、
⑤最大の加速度g(ｍ/s²)= ③光速(cｍ/秒)÷④プランク時間tp
です。

Ⅴ.重力加速度

　また、一本の超ひもの質量は様々です。振動の多い超ひも程、質量が大きくなります。最も質量の大きい超ひもを⑥M㎏(プランク質量)とします。
M㎏の物質Pに最短距離lpまで近づくと、その物質Qはこの世の最大の加速度⑤で引かれます。ですから、①⑤⑥より
⑬{③光速(cｍ/秒)÷④プランク時間tp= G*⑥M/lp²}
⑬c/tp=GM/lp²
が成立します。

Ⅵ.プランクエネルギー

　また、物質を加熱すると、光を発します。これを輻射エネルギーと言います。光は高温になるに従い、赤色→橙色→黄色→白色と変化します。光の波長は高温になるに従い短くなり、振動数は多くなります。そして、輻射エネルギーの量は、光の振動数が増えるに従って多くなります。

　プランクはそのエネルギー量を調べました。その結果、輻射エネルギーはなめらかに連続した量ではなく、一定の量の倍数であることを発見したのです。輻射エネルギー量は、Ｅ＝hv（プランク定数×光の振動数）と表わされます。つまり、輻射エネルギーは、プランク定数×1秒間当たりの振動数となっていたのです。

　プランク定数hは、6.629069×10^-34J*s(ジュール×秒)です。
⑭Ｅ(ジュール)＝h(ジュール*秒)×v(回/秒)
です。

Ⅶ.最も重い超ひもとは

　1秒間に1回振動する1本の「超ひも」である光のエネルギー量は、⑭より
Ｅ(ジュール)＝6.629069×10^-34(J*s)×1(回/秒)= 6.629069×10^-34J(ジュール)
です。1本の「超ひも」の振動数が多くなる程、質量が大きくなります。
　1本の「超ひも」の取り得る最大の振動数(質量)をM㎏とします。この時、「超ひも」は(最小時間のtp×2π)秒に１回振動します。
　このことを説明します。半径が最小距離のlpの円を想定します。円周を振動が光速cで伝わります。円周は2πlpです。光速でlp進むのにtp掛かります。ですから、振動が円を一周するのに要する時間は2πtp秒です。振動が円を一周することが１回の振動を表します。ですから、１本の超ひもの最大の振動数は1/2πtp(回/秒)となります。後で説明しますが、M㎏の質量はMc²ジュールのエネルギーに換わります。ですから、
⑮最多振動数の1本の「超ひも」のエネルギーE(ジュール)= h(ジュール*秒)÷2πtp=Mc²
⑮h/2πtp=Mc²
です。「h/2π」を「h^ﾊﾞｰ」換算プランク定数(ディラック定数) =(1.054571726×10^-34)J*sと言います。ですから良く
⑮h^ﾊﾞｰ/tp=Mc²と表されます。

Ⅷ.「プランク距離」と「プランク時間」の導出

　まとめると
⑫lp/tp=c
⑬c/tp=GM/lp²⇒lp/tp²= GM/lp²⇒G= lp³/M*tp²
⑮h^ﾊﾞｰ/tp =Mc²⇒h/2πtp =M*lp²/tp²⇒h=2π(パイ)M*lp²/tp
となります。⑬と⑮より
G×1h= (lp³/M*tp²)×2π (M*lp²/tp)=2π lp^5/tp³=2πlp²c³、lp²= G×h/(2πc³)
∴lp=√{Gh/(2πc³)}=√(6.67259×10^-11×6.6260695×10^-34÷6.283184÷(2.997924×10⁸)³=(1.616×10^-35)ｍ
∴tp=lp/c=1.616×10^-35÷2.997924×10⁸=(5.39×10^-44)秒

　この様に、⑨プランク距離lp=(1.616×10^-35)ｍと⑩プランク時間tp=(5.39×10^-44)秒が求められました。
　そして、その数値と⑬よりM= (2.17651×10^-8)㎏が求められます。これを⑪プランク質量と言います。

Ⅸ.この世の最大の重力加速度とは

　では、⑬に⑨⑩⑪を入れて見ましょう。 ③光速(cｍ/秒)÷④プランク時間tp=(2.997924×10⁸)ｍ/秒÷(5.39×10^-44)秒=⑯(5.56201×10⁵¹)ｍ/秒²
G*⑥M/lp²=(6.67384×10^-11)m³㎏^-1s^-2×(2.17651×10^-8)㎏÷(1.616×10^-35)ｍ÷(1.616×10^-35)ｍ=⑰(5.56229×10⁵¹)ｍ/秒²
　⑯=⑰なので、⑬が成立することが分かります。この最大加速度を「kothimaro加速度」と呼びます(2015/8/29am8:57)。これで、「プランク質量にプランク距離まで物質が近づくと、その物質はプランク時間に光速に達する加速度で引かれる」ことが分かります。

Ⅹ.最も重い超ひものエネルギー量

　今度は、⑮に⑨⑩⑪を入れて見ましょう。
(1h^ﾊﾞｰ)/tp=(1.054571726×10^-34)J*s÷(5.39×10^-44)秒=1.956534×10⁹J(ジュール)
Mc²=(2.17651×10^-8)㎏×(2.997924×10⁸)ｍ/秒×(2.997924×10⁸)ｍ/秒=1.956150×10⁹ J(ジュール)
となり、⑮が成立することが分かります。これで、「2π×プランク時間に１[rad]振動する１本の『超ひも』は、１本の『超ひも』が取り得る最大質量(プランク質量)を換算したエネルギー量(プランクエネルギー)を有する」ことが分かります。

十一.この世の最速である光速

　更に、⑫に⑨⑩⑪を入れて見ましょう。
lp/tp=(1.616×10^-35)ｍ÷(2.997924×10⁸)ｍ/秒=(2.997924×10⁸)ｍ/秒=c
となり、⑫が成立することが分かります。これで、「プランク時間にプランク距離進む速度は光速である」ことが分かります。

十二. E=Mc²の導き方

　また、1J(ジュール)は、「1キログラムの質量をもつ物体に1メートル毎秒毎秒 (m/s²) の加速度を生じさせる力で1メートル動かした時の仕事量」です。
　一方、M㎏の物質Pの持つエネルギー量E(ジュール)は、「同じM㎏の質量をもつ物質Qにプランク時間で光速に達する最大の加速度を生じさせる力でプランク距離動かした時の仕事量」です。物質Pはエネルギーを使っても、同量のエネルギーをQから受け取るので減ることはありません。しかし、Qを最小距離は動かさなければならないからです。Qは光速を越えることは出来ないので、以後Qは光速で移動し続けます。

　従って、
M㎏の物質の持つエネルギー量E(ジュール)=1J(ジュール)×M㎏×cｍ/秒(光速)÷tp(プランク時間)×lp(プランク距離)=1J(ジュール)×M㎏×cｍ/秒(光速)×lp /tp(プランク距離÷プランク時間=光速)=1J(ジュール)×M㎏×cｍ/秒(光速)×cｍ/秒(光速)=Mc²J(ジュール)です。
　これで「E=Mc²」が導かれました。

　物質は「超ひもの網」上を振動として伝わります。超ひもの振動自体が光速で伝わりますが、ヒッグス粒子に動きを妨げられ静止しています。この様に、M㎏の物質は、自身を光速で移動させるエネルギー量E=Mc²ジュールを持ちます。このエネルギーで、万有引力により同量のM㎏の物質を上記のとおり光速で動かします。

十三.超ひもの長さは、おおむねプランク長程度である

　この様に、最大の質量に物質が最小距離まで近づくと最大の加速度で引かれます。質量同志がこの最小距離よりも近づくと、自身を光速で移動させるよりも強い力で引き合うことになります。つまり、少々の力を加えても物質同士はくっ付いて離れなくなり、現実と乖離します。

　この様に、一般相対性理論が成り立つのは「プランク距離」までであり、それより小さい空間では、一般相対性理論は変更を迫られます。
　プランク長(1.6×10^-35ｍ)の微小な空間の中には超ひもがあり、その微小な空間内で起こる現象は、自由に伸びたり縮んだりして振動する超ひもにより表現されます。そして一本の超ひもは、プランク長の空間内にあり、その長さは「おおむねプランク長」と考えられています。

　プランク長の空間内におおむねプランク長程度の超ひもがあり、それが振動することで質量が生じます。そして、2つの質量同志が、プランク距離よりも接近することはないのです。

　この超ひもの長さが、プランク距離よりも長ければ、プランク長の微小な空間で起こる現象を説明出来ません。また、超ひもの長さがプランク長よりも大変短ければ、2つの質量はプランク距離よりも接近し、くっ付いて離れなくなります。つまり、現実と乖離します。
　ですから、超ひもの長さは「おおむねプランク長程度」と考えられているのです。

十四.まとめ

①lp/tp=c
②G=lp³/M*tp²⇒c/tp=GM/lp²
③h=2πM*lp²/tp⇒h/2πtp=Mc²
を解くと、lp=(1.616×10^-35)ｍ・tp=(2.997924×10⁸)ｍ/秒・M=(2.17651×10^-8)㎏です。

　ですから、①は「プランク時間にプランク距離進む速度は光速である」・②は「プランク質量にプランク距離まで物質が近づくと、その物質はプランク時間に光速に達する加速度で引かれる」・③は「プランク時間に１[rad]振動する『超ひも』は、それが取り得る最大質量のプランク質量を換算したエネルギー量であるプランクエネルギーを有する」をそれぞれ表現した方程式です。

　①から③までの方程式を解くことで、プランク距離とプランク時間が求まるのです。
②より
lp²=Gmptp/c
です。③より
mp=h^ﾊﾞｰ/tpc²
です。従って
lp²=Gmptp/c=h^ﾊﾞｰG/c³
lp=√(h^ﾊﾞｰG/c³)
①より
tp=lp/c=√(h^ﾊﾞｰG/c⁵)
mp=h^ﾊﾞｰ/tpc²=√(h^ﾊﾞｰc/G)
です。

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according to kothimaro