• CATBIRD日記 (物理・数学・歴史・哲学・宗教の未解決問題を扱ってます)
  • 扇形の面積=三角形の面積について

    扇形は三角形の一種?

    扇形の面積

     中学生の時、扇形の面積は、弧の長さを底辺とし半径の長さを高さとする三角形の面積と等しいと学んだことを思い出した。その時、扇形が変な形をした三角形の一種であるかの様な、何か妙な感覚に襲われた。

     扇形OST(半径r・弧の長さa)の面積は、Oを中心とする半径rの円の面積のa/2πrである。従って、扇形OST=πr2×a/2πr=ar/2である。△OPQの面積はa×r÷2= ar/2である。確かに、扇形OSTと△OPQの面積は等しい。pとqの部分の面積が常に等しくなる様である。

    長方形に変形する

    長方形に直す

     △OPRと△OQRを合わせて長方形を作る。そして、扇形OSTを小さな扇形に切り分け長方形を作る。扇形OEFで長方形ORHGを作る。扇形OSEと扇形OFTで長方形QRGHを作る。

     q+u=長方形全体−扇形OEF=長方形RQGH=扇形OSE+扇形OFTである。従って、pとqの部分の面積は常に等しくなる。