無限小とは「0でなく、かつ限りなく0に近い」です。この無限小に足したり引いたり掛けたり割ったりと四則計算出来るでしょうか。
つまり、無限小×2=無限小の2倍・無限小÷2=無限小の半分が成立するのでしょうか。
成立するとしたら、無限小×2や無限小÷2と「限りなく0にちかづく」とはどう違うのでしょうか。
私は、無限小は「限りなく0に近づく」なので、2を掛けても2で割っても「限りなく0に近づく」に変わりはないので、無限小×2=無限小、無限小÷2は無限小であると考えます。つまり、無限小は実数の様に四則計算出来ないと考えます。
このホームページで「無限小は四則計算出来ない」ことの証明を試みます。
その方法として、①「0.9999・・・=1」か②「0.9999・・・≠1」と言う問題を考えて見ます。
その証明方法として
『「 0.99999・・・」という数を「a[n]=0.999・・・(9がn個)という 数列を定めたときのlim[n→∞]a[n]」と定義する。(1/10)^N < ε⇔log10{(1/10)^N} < log10(ε)⇔N > -log(ε)よ り N > -log(ε) を満たす N をとれば 任意の正の実数及び無限小である ε に対し てn > N を満たす n が存在して|{1 - (1/10)^n} - 1| < εとなる』
があります。この証明については、Wikipedia等を参照下さい。
この証明において『| (1/10)^n|<ε』の結論を導いたεには、全ての正の数と無限小が含まれるとしています。「0<無限小<最も小さい正の数」なので、「| (1/10)^n|は0以上かつ全ての正の数及び無限小よりも小さい」です。
だから、| (1/10)^n|=0となる訳です。∴④0.999・・・=1－(1/10)^∞=1－0=1です。
しかし
| (1/10)^∞|=0の時、0.999・・・=1－無限小=1－0=1、無限小=0、しかし、無限小≠0なので矛盾します。
この矛盾が生じるのは、無限小を実数と同じ様に四則計算可能としてεに含めたからです。
従って、
| (1/10)^n|=無限小≠0です。0.999・・・=1－無限小=1－| (1/10)^∞|≠1－0=1です。
これで、無限小は四則計算出来ないことが証明されました。