「ローレンツ収縮」とは、v㎞/秒で移動する物質が、実際に進行方向(横方向)に√(1-v2/c2)倍収縮することです。下左右方向(縦方向)には変化ありません。
観測者Aの持っている定規が横方向に√(1-v2/c2)倍「ローレンツ収縮」するので、質問者さんの仰るとおり進行方向の距離は実際よりも1/√(1-v2/c2)倍長く測定されます。
対象物Bまでの距離をc[m]とすると、この②定規で距離を測るとc/√(1-v2/c2)[m]と測定されます。
ただし、①光学的方法により測定した距離と②定規で測定した距離とは一致します。
レーザー光を観測者Aが発し、対象物Bに反射して戻って来る時間を測定して、観測者から対象物までの距離を測定します。
AとBはv[m/s]で移動しています。距離をc[m]とします。
v=0の静止時にはレーザー光は2秒で戻ります。光の速度はc[m/s]なので
AB間の距離=2秒×c[m/s]÷2=c[m]
と測定されます。
v[m/s]の時、AB間の光の往復距離は1/(1-v2/c2)倍の2c/(1-v2/c2)[m]となります。
光の速度はc[m/s]なので、
光が往復して戻るのに要する時間=2c/(1-v2/c2)[m]÷c[m/s]=2/(1-v2/c2)[秒]
です。しかし、v[m/s]で移動する時計は遅れ、1秒間に√(1-v2/c2)秒を刻みます。ですから、相対性理論では時間の変換式はｔ'=t√(1-v2/c2)です。
故に、v[m/s]で移動する観測者が持っている時計で時間を計ると
光の往復に要する時間=2√(1-v2/c2)/(1-v2/c2)[秒]=2/√(1-v2/c2)[秒]
です。観測者にとって光速度は不変と観測されるので
①観測者から対象物Bまでの距離=2/√(1-v2/c2)[秒]×c[m/s]÷2=c/√(1-v2/c2)[m]
と観測者は測定します。
この様に、光学的方法で測定した距離①と定規で測定した距離②とは一致します。どの様な方法で距離を測定しても、v慣性系では1/√(1-v2/c2)倍長く測定されるので、高速移動する観測者の空間の座標が変化するのです。
以下に、ローレンツ収縮とローレンツ変換の導き方を記しておきます。
ローレンツ収縮は、マイケルソンとモーリー(以下MMと称します)の実験結果を説明するものとして、ローレンツにより提唱されました。
MMは、地球の進行方向(横方向)と上下左右方向(縦方向)に、鏡を使い光を片道11m往復させました。
地球の速度をv㎞/秒とすると、何も変化がなければ、横方向に往復した光①は22/(1-v2/c2)m・縦方向に往復した光②は22/√(1-v2/c2)mの距離を進みます。(詳細は下記のホームページを参照下さい)。ですから、光①と光②は同時には戻らない筈でした。
しかし、実験の結果光①と光②は同時に戻りました。
そこで、ローレンツは物質はエーテルに押されて横方向に実際に√(1-v2/c2)倍収縮すると考えました。そうすれば、MM装置自体が横方向に√(1-v2/c2)倍収縮するので
横方向の光①の往復距離=22√(1-v2/c2)/(1-v2/c2)m=22/√(1-v2/c2)m
縦方向の光②の往復距離=22/√(1-v2/c2)m
となり、光①と光②は同時に戻ることが出来ます。
しかし、幾らエーテルを探しても発見出来ず、「ローレンツ収縮」は証明されませんでした。
一方、高速で移動する粒子は加速し難くなります。粒子は光速に近づく程動き難くなります。これは加速器の実験で実証済みです。
原子が高速移動すると、電子が動き難くなり回転速度が落ち遠心力が弱まるために原子核の電磁気力に引かれてより近い軌道を回ります。この仕組みにより高速移動する物質は収縮します。
ですから、高速移動する物質はエーテルに押されて収縮するのではなく、電子が動き難くなる為「ローレンツ収縮」するのです。
アインシュタイン博士も、高速移動する物質が「ローレンツ収縮」すると考えることは、妥当な解決策であると述べられています。
この様に高速移動する物質は実際に「ローレンツ収縮」するのです。ただ収縮して見えるだけで実際には収縮していないのであれば、横方向に往復した光①は実際には22/(1-v2/c2)m進んでいるので、光①と光②は同時には戻れません。
したがって、v㎞/秒で移動する定規が「ローレンツ収縮」するので、進行方向(X軸方向)の距離は1/√(1-v2/c2)倍長く測定されます。その間、観測者自身がv㎞移動しているので、vt㎞距離は短く測定されます。従って、X軸方向(横方向)の距離は
③x'=(x-vt)/√(1-v2/c2)
と変換されます。Y軸Z軸方向(縦方向)では変化ありません。したがって
④y'=y
⑤z'=z
です。
ここで、光の座標を便宜上平面で、P(x,y,z)=(ct*cosθ,ct*sinθ,0)とします。光は、原点Oを発してt秒後にPの位置に到達します。光が移動した時間はt秒です。光の移動した距離は、√(x2,y2,z2)=√{( ct*cosθ)2+( ct*sinθ)2+02}=ct㎞です。従って、静止者が見た光の速度は、ct㎞÷t秒=c㎞/秒です。
今度は、v㎞/秒で移動する観測者Aが同じ光を見ると、その速度は幾らと観測されるか、時間と空間の座標の変換式③④⑤を使って計算します。
v慣性系で光の進んだ距離√(x'2+y'2+z'2)=√{((t－vx/c2) / √（1－v2/c2）)2+( ct*sinθ)2+02}=(c－vcosθ)t/√(1－v2/c2)㎞
です。
光速度不変となるためには、時間の変換式は
⑥t'=(c－vcosθ)t/c√(1－v2/c2)
でなければなりません。これで
v慣性系における光の速度=(c－vcosθ)t/√(1－v2/c2)㎞÷(c－vcosθ)t/c√(1－v2/c2)=c㎞/秒
と光速度不変となります。
光のX軸の座標x=ct*cosθなので、cosθ=x/ctです。これを⑥に代入すると
⑥t'=(c－vcosθ)t/c√(1－v2/c2)= (c－vx/ct)t/c√(1－v2/c2)=④ (t－vx/c2) / √（1－v2/c2）
です。
③④⑤⑥をまとめると
③x'=(x-v)/√(1-v2/c2)
④y'=y
⑤z'=z
⑥t'= (t－vx/c2) / √（1－v2/c2）
と「ローレンツ変換」が導かれます。