★第一部光速度  近日点の移動 マックスゥエル マイケルソンとモーレー 光行差 C−Vcosθ 物質収縮 自然哲学 物質変化 静止系 光速度不変の要請 逆変換 レーザー 速度の加法則 横ドップラー 時空間の変化 ローレンツ収縮 リングレーザージャイロ 同時性の相対性 ウラシマ効果 物質波

ブラッドリーの光行差式で望遠鏡は縦√(1−V2/C2)収縮している

光行差





 T.星を望遠鏡で見る場合、実際に星のある方向に望遠鏡を向けても、その星は見えないことが知られている。 少し地球の進行方向に望遠鏡を傾けてやらないと、その星は見えない。

 U.青線OSを望遠鏡とする。望遠鏡と観測者は、速度Vq/秒でOからQへ移動する。星Sからの光を赤の矢印SQとする。 望遠鏡を∠α傾けたのでは、星Sからの光は望遠鏡を通り抜けることは出来ない。 ∠θ傾けてやると、光は上手に望遠鏡を通り抜けてQの位置の観測者に届く。この∠αと∠θの差である∠βが光行差である。

 V.この光行差は、ブラッドリーの式
sinβ=(V/C)sinα
として表わされる。

 W.便宜上、SQ=Cq、OQ=Vqとする。光は1秒で星SからQの位置の観測者に届く。観測者は1秒でOからQへ移動する。この時、 望遠鏡OSの長さをaとすると
a=Vcosθ+√(C2−V2sinθ2)q
となる。aの導出方法は以下の通りである。第二余弦定理より
SQ=√(a2+V2−2aVcosθ)=C
である。従って
a2−2Vcosθ*a+ V2−C2=0
この二次方程式の正の解は
a= Vcosθ+√(V2cosθ2−V2+ C2) = Vcosθ+√(C2−V2sinθ2)q
となる。

望遠鏡の収縮


 X.物質が高速で移動すると、縦に√(1−V2/C2)、 横に(1−V2/C2)収縮する。 この様に収縮しつつ速度Vq/秒で移動すると、光にとって物質は縦に √(1−V2/C2)収縮した形となる。
 (詳細はトップページ31.物質の収縮による第三変換を参照下さい)

 Y.便宜上、△OQSを直角三角形とする。SQは√(1−V2/C2)収縮するので、
SQ→RQ=C√(1−V2/C2)=√(C2−V2)q
となる。従って、望遠鏡の長さは
OS→OR=√(OQ2+RQ2)=√(V2+C2−V2)=Cq
となる。この時、図1のSQはOS=a=Cなので
SQ=√(a2+V2−2aVcosθ)=√(C2+V2−2CVcosθ)q
となる。



望遠鏡の収縮

 Z.従って、収縮後の各区間の距離は、図3の通りとなる。望遠鏡の端RからOQの延長線上に下ろした垂線の足をJとする。 RJ= C*sinθq、OJ= C*cosθq、QJ=(C*cosθ−V)qである。
 この距離設定で、ブラッドリーの式を求める。

sinα= C*sinθ/√(C2+V2 −2VCcosθ)
sinβ= sin(α−θ)= sinα*cosθ−cosα*sinθ (公式より)
= (C*sinθ/√(C2+V2−2VCcosθ))* cosθ−((C*cosθ−V)/ √(C2+V2−2VCcosθ)) * sinθ
= (sinθ/√(C2+V2−2VCcosθ))*(C* cosθ−C*cosθ+V)= V* sinθ/ √(C2+V2−2VCcosθ)
∴sinβ=(V/C)sinα
と、ブラッドリーの式が導かれる。

 この様に、望遠鏡が縦に√(1−V2/C2)収縮した時に、ブラッドリーの式は成立する。