Ⅰ.星を望遠鏡で見る場合、実際に星のある方向に望遠鏡を向けても、その星は見えないことが知られている。
少し地球の進行方向に望遠鏡を傾けてやらないと、その星は見えない。
Ⅱ.青線OSを望遠鏡とする。望遠鏡と観測者は、速度v[m/s]でOからQへ移動する。星Sからの光を赤の矢印SQとする。
望遠鏡を∠α傾けたのでは、星Sからの光は望遠鏡を通り抜けることは出来ない。
∠θ傾けてやると、光は上手に望遠鏡を通り抜けてQの位置の観測者に届く。この∠αと∠θの差である∠βが光行差である。
Ⅲ.この光行差は、ブラッドリーの式
sinβ=(v/c)sinα
として表わされる。
Ⅳ.便宜上、SQ=c[m]、OQ=v[m]とする。光は1秒で星SからQの位置の観測者に届く。観測者は1秒でOからQへ移動する。この時、
望遠鏡OSの長さをaとすると
a=vcosθ+√(c2-v2sinθ2)[m]
となる。aの導出方法は以下の通りである。第二余弦定理より
SQ=√(a2+v2-2avcosθ)=c
である。従って
a2-2vcosθ*a+ v2-c2=0
この二次方程式の正の解は
a= vcosθ+√(v2cosθ2-v2+ c2)
= vcosθ+√(c2-v2sinθ2)[m]
となる。
Ⅴ.物質が高速で移動すると、縦に√(1-v2/c2)、
横に(1-v2/c2)収縮する。
この様に収縮しつつ速度v[m/s]で移動すると、光にとって物質は縦に
√(1-v2/c2)収縮した形となる。
(詳細はトップページ３１．物質の収縮による第三変換を参照下さい)
Ⅵ.便宜上、△OQSを直角三角形とする。SQは√(1-v2/c2)収縮するので、
SQ→RQ=c√(1-v2/c2)=√(c2-v2)[m]
となる。従って、望遠鏡の長さは
OS→OR=√(OQ2+RQ2)=√(v2+c2-v2)=c[m]
となる。この時、図1のSQはOS=a=cなので
SQ=√(a2+v2-2avcosθ)=√(c2+v2-2cvcosθ)[m]
となる。
Ⅶ.従って、収縮後の各区間の距離は、図3の通りとなる。望遠鏡の端RからOQの延長線上に下ろした垂線の足をJとする。
RJ= c*sinθ[m]、OJ= c*cosθ[m]、QJ=(c*cosθ-v)[m]である。
この距離設定で、ブラッドリーの式を求める。
sinα= c*sinθ/√(c2+v2
-2vccosθ)
sinβ= sin(α-θ)= sinα*cosθ-cosα*sinθ (公式より)
= (c*sinθ/√(c2+v2-2vccosθ))* cosθ-((c*cosθ-v)/ √(c2+v2-2vccosθ))
* sinθ
= (sinθ/√(c2+v2-2vccosθ))*(c* cosθ-c*cosθ+v)= v* sinθ/
√(c2+v2-2vccosθ)
∴sinβ=(v/c)sinα
と、ブラッドリーの式が導かれる。
この様に、望遠鏡が縦に√(1-v2/c2)収縮した時に、ブラッドリーの式は成立する。
