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コンプトン効果の意味と求め方


T.コンプトン波長

コンプトン効果  X線を電子に当てるとX線は散乱します。その散乱角度θにより散乱したX線の波長が異なります。
 散乱後のX線の波長λ'-散乱前のX線の波長λ=h/mc(1-cosθ) (m=静止した電子の質量)です。h/mcを電子のコンプトン波長と言います。

 光は物質に吸収されて、物質を動かす運動エネルギーとなります。
物質の運動エネルギーE=(1/2)mv2
です。したがって
光のエネルギーE=hν=(1/2)mv2=(1/2)m(v2/c2)v2(c2/v2)=(1/2)m(v2/c2)c2
です。故に
@光の質量= m(v2/c2)
です。

U.運動量保存の法則

運動量保存の法則 運動量保存の法則2  この様に、光には質量があるので「運動量保存の法則」が適用されます。また、X線と電子は完全弾性衝突(=力学的エネルギーが失われない衝突)すると仮定します。
 速度v1質量m1の物体が、速度v2質量m2の物体に衝突しました。衝突後の物体m1の速度をv'1、物体m2の速度をv'2とします。すると、運動量保存の法則より
Am1*v1+m2*v2=m1*v'1+m2*v'2
です。また完全弾性衝突なので
反発係数e=-(v'1-v'2)/(v1-v2)=1、Bv'2=v1-v2+v'1
です。BをAに代入して
Am1*v1+m2*v2=m1*v'1+m2*v'2= m1*v'1+m2*( v1-v2+v'1)→ (m1+m2) v'1=(m1-m2)v1+2m2v2→Cv'1={(m1-m2)/(m1+m2)}v1+2{m2/(m1+m2)}v2
です。CをBに代入して
Dv'2=v1-v2+v'1=v1-v2+{(m1-m2)/(m1+m2)}v1+2{m2/(m1+m2)}v2={(m1+m2+m1-m2)/(m1+m2)}v1+{(-m1-m2+2m2)/(m1+m2)}v1={(2m1)/(m1+m2)}v1+{(-m1+m2)/(m1+m2)}v2
です。Cより
衝突前後の物体m1の速度差E=v'1-v1={(m1-m2)/(m1+m2)}v1+2{m2/(m1+m2)}v2-v1={(m1-m2-m1-m2)/(m1+m2)}v1+2{m2/(m1+m2)}v2=-2{m2/(m1+m2)}v1+2{m2/(m1+m2)}v2={(2m2)/(m1+m2)}(v2-v1)
です。またDより
衝突前後の物体m2の速度差F=v'2-v2={(2m1)/(m1+m2)}v1+{(-m1+m2)/(m1+m2)}v2-v2={(2m1)/(m1+m2)}v1+{(-m1+m2-m1-m2)/(m1+m2)}v2 ={(2m1)/(m1+m2)}v1+{(-2m1)/(m1+m2)}v2 ={(2m1)/(m1+m2)}(v1-v2)
です。したがって
物体m1の運動量の変化G=m1{(2m2)/(m1+m2)}(v2-v1)= {(2m1*m2)/(m1+m2)}(v2-v1)
物体m2の運動量の変化H=m2{(2m1)/(m1+m2)}(v1-v2) = {(2m1*m2)/(m1+m2)}( v1-v2)
です。この様に
物体m1の運動量の変化G+物体m2の運動量の変化H=0
なので、衝突前後の運動量は保存されています。

 運動エネルギーE=(1/2)mv2です。ですから、物体m1の速度v1が2倍になると、運動エネルギーは2mv2と4倍になります。しかし、衝突された物体m2(ここではm1=m2と仮定する)も、動き難さが4倍となります。つまり、2倍速く動かそうとすると、動き難さ(慣性力)が4倍となるのです。
 ですから、2vで衝突され4倍の運動エネルギーを与えられても、静止しているm2は2vでしか動きません。一方、質量が2倍になると、同じ運動エネルギーを受けても1/2の速度でしか動きません。ですから、衝突前後で「運動量=質量m×速度c」が保存されるのです。

V.X線の波長の変化

コンプトン散乱  では、X線を静止している電子に衝突させ、X線の波長が衝突前後でどの様に変化するかを見て行きましょう。
 電子の質量をm2、速度をv2=0とし、IX線のエネルギーE=mv2とします。このX線は電子に吸収されると、質量mの電子を速度vで運動させるエネルギーを持っています。また
IX線のエネルギーE=mv2=m(v2/c2)c2
なので、X線の質量m1= m(v2/c2)、速度v1=cです。したがってGより
X線の運動量の変化J={(2m1*m2)/(m1+m2)}(v2-v1) =c{2m*m(v2/c2)}/{m+m(v2/c2)}=c{(2m2*v2*c2)/m(c2+v2)c2}=2m{v2/(c2+v2)}c
です。そして
衝突前のX線の運動量=質量m1×速度c=K m(v2/c2)c= m(v2/c)
です。ですから
反射するX線の運動量=J-K=2m{v2/(c2+v2)}c- m(v2/c)= =2m{v2/(c2+v2)}c- mc(v2/c2) (2mc3*v2-mv2*c*3-mv4c)/{c2(c2+v2)}=(mc3*v2-mv4c)/{c2(c2+v2)}=m(v2/c2){(c2-v2)/(c2+v2)}c
です。反射するX線の速度はcなので
反射するX線の質量= m(v2/c2){(c2-v2)/(c2+v2)}c÷c=L m(v2/c2){(c2-v2)/(c2+v2)}
です。光の波長λ=1回の振動に要する時間×速度=(h/光のエネルギー)×速度c
なので
反射後のX線の波長λ'=M hc/[m(v2/c2){(c2-v2)/(c2+v2)}×c2]=hc/[mv2{(c2-v2)/(c2+v2)}]
です。
※1秒間に1回振動する光のエネルギーE=h[Js]×1[Hz]=h[J]、光のエネルギーE=mc2を使いました。

反射前のX線の波長λ=Nhc/mv2
です。したがって
反射前後の波長の差=M-N= hc/[mv2{(c2-v2)/(c2+v2)}]- hc/mv2={hc(c2+v2)/mv2(c2-v2)}- hc/mv2={hc(c2+v2)-hc(c2-v2)}/{mv2(c2-v2)}=2hv2*c/{mv2(c2-v2)}=2hc/{m(c2-v2)}=(2h/mc)×{c2/(c2-v2)}=O (2h/mc)÷(1-v2/c2)
です。
h/mc=「電子のコンプトン波長」です。

 X線のエネルギーが十分低い時、v≒0なので
反射前後の波長の差=(2h/mc)÷(1-02/c2)= 2h/mc
となります。したがって
散乱角θ=π(180°)の時(垂直に衝突した時)反射前後のX線の波長の差=2h/mc
です。
 一方、X線のエネルギーEが大きくなり、電子と同じ「mc2」になると
反射前後の波長の差=(2h/mc)÷(1-c2/c2)= 2h/mc÷0
となります。0で割ることは出来ませんが、反射前後の波長差は無限大となります。つまり反射前のX線のエネルギーは全て電子に吸収されたので、反射後のX線は振動しなくなったのです。

コンプトン波長  次に散乱角度θにより、反射前後の波長差がどの様に変化するかを見て行きます。
 電子の表面にX線が衝突し電子を動かします。すると、電子に与えた運動エネルギー分、散乱後のX線のエネルギーは少なくなります。
 X線が、左から●電子に当たり右上に散乱します。散乱角度はθです。そして、電子の表面に接する点線を描きます。X線の入射角度θ'=θ/2です。X線は、電子を赤の矢印方向へ押します。X線の速度=c[m/s]なので、赤の矢印の速度=c*sin(θ/2)です。
故に
X線と電子のY軸上の相対速度(X線が赤の矢印の方向へ電子を押す速度)=c*sinθ'=c*sin(θ/2)=c√{(1-cosθ)/2}
です。
 ※三角関数の「半角の公式」を使いました。

 衝突の衝撃及びその時渡される運動エネルギーは速度の2乗に比例するので
X線が散乱角度に応じて電子にエネルギーを与える割合=[√{(1-cosθ)/2}]2=P(1-cosθ)/2
 OとPより
X線の散乱前後の波長差(λ'-λ)={(2h/mc)/(1-v2/c2) }(1-cosθ)/2=(h/mc) (1-cosθ)/(1-v2/c2)
 これを「kothimaro波長」と呼びます(2017/12/26 PM18:25)。

 vが十分小さい時(電子の持つ静止エネルギーに比べ、X線の持つエネルギーが十分小さい時)
波長差(λ'-λ)=(h/mc) (1-cosθ)/(1-02/c2)=h/mc(1-cosθ) (=電子のコンプトン波長)
です。証明終わり。


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