TopPage思考の迷宮 「kothimaro Aruki」の研究室へ戻る

ケプラーの第二法則(面積速度一定の法則)の求め方

T.惑星の軌道半径と公転速度の関係

遠心力

 先ず、惑星の公転軌道を円で説明します。その後、公転軌道が楕円となる仕組みを説明します。

 惑星は太陽の周りを回ることにより、遠心力を受け外に飛び出そうとします。

万有引力  また、惑星は太陽の万有引力により引かれます。

 その、遠心力と太陽の万有引力が釣り合う一定軌道を惑星は公転しています。つまり、双方の力が釣り合うには、惑星の軌道半径と惑星の公転速度の間に一定の関係が必要となります。

遠心力F=mv2/r  (m=惑星の質量[s]、v=惑星の公転速度[m/s]、r=惑星の公転半径[m])
万有引力F'=GMm/r2 (G万有引力定数=6.67408×10-11[m3s-1s-2]、M=太陽の質量[s]、m=惑星の質量[s]、r=惑星の公転半径[m])
です。

U.ケプラーの第三法則(予定調和の法則)

惑星の軌道半径と速度

 この様に、惑星は
遠心力F=万有引力F'
となる一定の軌道上を回っています。ですから
@mv2/r= GMm/r2⇒rv2=GM=一定値
です。万有引力定数Gと太陽の質量Mは一定値です。ですから、惑星の公転半径rは、公転速度vの2乗に反比例します。

 実際の惑星の公転半径は、左図のとおり公転速度の2乗に反比例しています。

 ※(重力による時間と空間の正しい変換式)で以下のとおり説明しました。
 

V.ケプラーの第二法則(面積速度一定の法則)

ケプラーの第二法則

 次にケプラーの第二法則に移ります。

 惑星が同じ時間に弧AB・弧CD・弧EF動きます。すると、扇形ABS・扇形CDS・扇形EFSの面積が等しくなります。
 これを「太陽と惑星が一定時間に移動した軌道を結ぶ扇形の面積Sは一定である」と言います。

角運動保存の法則  これは「角運動量保存の法則」から導くことが出来ます。

A角運動量a=mrv (m=回る物質の質量・r=回転する円の半径・v=回転速度)
です。この運動量が一定になります。

 つまり、惑星の公転半径を半分にすると回転速度は2倍になります。これで
角運動量=m×r/2×2v=mrv=一定
となります。

角運動保存の法則
 扇形の面積S=半径r×弧の長さl÷2です。

 一定時間の弧の長さl=惑星の速度v×時間t=vtです。

したがって
S=r×vt÷2= rat/2mr=at/2mです。a=一定値、t=一定時間、m=惑星の質量(不変)なので、扇形の面積Sは不変となります。