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光の移動距離÷光の移動時間=光速度不変
v慣性系の空間の変化
ローレンツ変換を、簡単に説明する。v慣性系では進行方向に定規が√(1-v2/c2)倍ローレンツ収縮するので、距離は1/√(1-v2/c2)倍長く測定される。その間に、観測者自身がvt[m]移動しているので、その分距離は短く測定される。上下左右方向では変化はない。従って、空間の変換式は
⑩x'=(x-vt)/√(1-v2/c2)
⑪y'=y
⑫z'=z
となる。
光速度不変となる為の時間の変化
従って、v慣性系で光の進んだ距離=√(x'2+y'2+z'2)に、⑩⑪⑫と光の座標(ct*cosθ,ct*sinθ,0)を代入すると、
光の進んだ距離= (c-v*cosθ)t/√(1-v2/c2)[m]
となる。光速度不変⑤c'=cなので
光の進んだ時間=光の進んだ距離÷光速度c=(c-v*cosθ)t/c√(1-v2/c2)秒
である。従って、時間の変換式は
⑬t'=(c-v*cosθ)t/c√(1-v2/c2)
である。光のX軸の座標x=ct*cosθ、∴cosθ=x/ctを⑬に代入すると
①t'=(c-v*cosθ)t/c√(1-v2/c2)=(t-vx/c2)/√(1-v2/c2)
となる。
ローレンツ変換
①⑩⑪⑫⑤をまとめると
①t'=(t-vx/c2)/√(1-v2/c2)
⑩x'=(x-vt)/√(1-v2/c2)
⑪y'=y
⑫z'=z
⑤c'=c
と「ローレンツ変換」となる。
ローレンツ変換による光の進んだ距離
この様に、v慣性系では、空間の座標(x,y,z)が(x',y',z')に変換される。光の座標は(ct*cosθ,ct*sinθ,0)なので、v慣性系では((ct*cosθ-vt)/√(1-v2/c2), ct*sinθ,0)に変換される。従って
v慣性系で光の進んだ距離=√(x'2+y'2+z'2)
=√{((ct*cosθ-vt)/√(1-v2/c2))2+(ct*sinθ)2+02}
=√{(ct*cosθ-vt)2*c2/(c2-v2)+c2t2*sinθ2}
=√{c2t2{(c2*cosθ2-2cv*cosθ+v2) /(c2-v2)+ sinθ2}}
=√{c2t2{(c2*cosθ2-2cv*cosθ+v2+c2*sinθ2- v2*sinθ2)/(c2-v2)}}
=√{c2t2{(c2-2cv*cosθ+v2-v2 (1-cosθ2))/(c2- v2)}}
=√{c2t2{(c2-2cv*cosθ+v2*cosθ2)}/(c2-v2)}}
=√{t2 (c-v*cosθ) 2/(1-v2/c2)}
=(c-v*cosθ)t/√(1-v2/c2)[m]
である。
ローレンツ変換による光の進んだ時間
光速度不変「c'=c」となる為には
v慣性系で光の進んだ時間=(c-v*cosθ)t/c√(1-v2/c2)秒
でなくてはならない。
光速度不変の原理
これで
v慣性系での光速度= v慣性系で光の進んだ距離÷v慣性系で光の進んだ時間=(c-v*cosθ)t/√(1-v2/c2)[m]÷(c-v*cosθ)t/c√(1-v2/c2)秒=c[m/s]
と「光速度不変」になる。従って時間の変換式は
⑬t'=(c-v*cosθ)t/c√(1-v2/c2)
である。x=ct*cosθ、∴cosθ=x/ctを⑬に代入すると
①t'=(c-v*cosθ)t/c√(1-v2/c2)=(t-vx/c2)/√(1-v2/c2)
となる。
ローレンツ変換導出
①⑩⑪⑫をまとめると
①t'=(t-vx/c2)/√(1-v2/c2)
⑩x'=(x-vt)/√(1-v2/c2)
⑪y'=y
⑫z'=z
