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ド・ブロイ波長の方程式の求め方

T.物質は波としての性質を持つ

 物質は、粒子であると同時に波としての性質も持ちます。電子を小さな穴に通すと、同心円状のリングである回折像が、スクリーンに写し出されます。
 もし、電子が唯の粒子なら、スクリーンには通った小さな穴と同じ大きさの円い像が、スクリーン上に写し出される筈です。しかし、面白いことに、実際には映し出される像は穴よりも大きく広がっており、このことから電子は波としての性質を持つことが分かります。

U. 光のエネルギー量

 物質を構成する基本粒子は、1本の「超ひも」の振動として表されます。そして、「超ひも」の振動回数が多い程、物質の質量が大きいのです。
 光も同様に、1本の「超ひも」の振動で表されます。そのエネルギーは
光のエネルギーE(ジュール)=1h(プランク定数)×ν(振動数:回/秒)
です。プランク定数1h=6.629069×10-34J*s(ジュール×秒)です。ですから
1秒間に1回振動する光のエネルギーE(ジュール)= 6.629069×10-34J*s(ジュール×秒)×1回/秒=(6.629069×10-34)J(ジュール)
となります。

V.超ひもの振動回数が増えると光から物質となる

 「超ひも」の振動数が多くなると、1本の「超ひも」は、光から物質になります。そして、任意の質量msの1本の「超ひも」のエネルギーは、mc2(ジュール)です。詳細は、 「E=mc^2」を参照下さい。
1秒間に1回振動する一本の超ひものエネルギーは、上記のとおりhジュールです。超ひもの振動回数に比例して質量が増加します。従って、
msの一本の超ひもの1秒間の振動数= (mc2/h)回/秒
です。故に
msの物質のエネルギー=h*v(振動数)= h*(mc2/h)回/秒=mc2
となります。

W.最も重い超ひもの振動回数とエネルギー量

 最も振動数の多い「超ひも」が、最も質量の大きい粒子です。そして、時間の最小単位をプランク時間tp=(5.39106×10-44)秒・距離の最小単位をプランク距離lp=(1.616199×10-35)mと言います。
 ですから、この世で一番多い振動数は、(最小時間であるプランク時間×2π)秒に1回振動する数です。
 これを説明します。半径が最小距離のlpの円を想定します。円周を振動が光速cで伝わります。円周は2πlpです。光速でlp進むのにtp掛かります。ですから、振動が円を一周するのに要する時間は2πtp秒です。振動が円を一周することが1回の振動を表します。ですから、1本の超ひもの最大の振動数は1/2πtp(回/秒)となります。従って、
最も重い「超ひも」の1秒間当たりの振動回数ν(回)=1秒÷2πプランク時間tp=1/2πtp
です。
 1本の「超ひも」が取り得る最大質量を、プランク質量(Ms)= (2.17651×10-8)sと言います。それをエネルギーに換算したものをプランクエネルギーと言います。
プランクエネルギーE=h×v(振動数)=h(1/2πtp)= (6.629069×10-34J*s)/{2π×(5.39106×10-44)秒}=1.956150×109 J(ジュール)= (2.17651×10-8)s×(2.997924×108)m/秒×(2.997924×108)m/秒=Mc2(ジュール)
となります。

X. vm/秒で移動するmsの物質の波長

 元に戻ります。上記のとおり、msの一本の超ひもの1秒間の振動数は、(mc2/h)回/秒です。ですから、1回の振動に要する時間は、(h/ mc2)秒です。波の波長をλ(メートル)・速度をv[m/s]とすると
A波長λ=速度×1回の振動に要する時間= v[m/s]×(h/ mc2)秒=hv/mc2
です。
 しかし、msの質量が静止している時には、移動エネルギーはありません。実は、物質はそれが有する移動エネルギー量に応じた振動をします。
 上記のとおり、msの静止している物質はmc2Jのエネルギーを有します。移動すると、このエネルギーが移動エネルギーに換わります。光速cで移動する物質はmc2J全てが移動エネルギーとなります。また、移動する物質の持つ移動エネルギーは、速度の2乗に比例します。光速cで移動するmsの物質の移動エネルギーをmc2(ジュール)とすると、
速度vで移動する物質が有する移動エネルギーE(ジュール)=Bmc2×v2/c2=mv2
となります。従って、
C速度vで移動するmsの一本の超ひもが1回の振動に要する時間= (h/mv2)秒
です。AとCより
D波長λ=v[m/s]×(h/mv2)秒=h/mv
とド・ブロイの物質波の方程式「λ= h/mv」が求まりました。