電磁気力は、電荷を帯びた粒子間を電磁波(=光)が往復することで生じます。v[m/s]で2つの荷電粒子が並走しながら電磁波を交換し合うと、電磁波の往復距離は縦(進行方向)に1/(1-v2/c2)倍・横(上下左右方向)に1/√(1-v2/c2)倍長くなります。これでは生じる電磁気力の強さはv慣性系では弱まると思えます。
しかし「マックスウェルの方程式」では、荷電粒子の移動速度vに拘わらず生じる電磁気力Fの強さは不変です。そして、実際にv慣性系の静電気力の強さは静止時と変わりません。これはどうしてでしょうか。
この難問を解決する理論として、「特殊相対性理論」は提唱されました。v[ｍ/秒]で移動する物体は進行方向へ√(1-v2/c2)倍ローレンツ収縮し、v[ｍ/秒]で移動する時計は遅れるとしたのです。その思考を表現したのが次の「ローレンツ変換」です。
①x'=(x-vｔ)/√（1-v2/c2）
②y'= y
③z'= z
④t'= (t-vx/c2) / √（1-v2/c2）
電磁波の座標を⑤P(x,y,z)=(ct*cosθ,ct*sinθ,0)とします。①②③⑤より
v慣性系で光の進んだ距離√(x'2+y'2+z'2)=√{(( ct*cosθ-vt)/√(1-v2/c2))2+( ct*sinθ)2+02}=(c-vcosθ)t/√(1-v2/c2)[m]
です。
④にx= ct*cosθを代入すると
④t'= (t-vx/c2) / √（1-v2/c2）=(c-vcosθ)t/c√(1-v2/c2)
です。ですから
電磁波(=光)の速度c'=(c-vcosθ)t/√(1-v2/c2)[m]÷(c-vcosθ)t/c√(1-v2/c2)=c[m/s]=光速度不変の原理
です。
したがって、v慣性系では静止時に比べ
距離L=(c-vcosθ)t/√(1-v2/c2)[m]÷ct[m]= (c-vcosθ)/c√(1-v2/c2)倍
時間T=(c-vcosθ)t/c√(1-v2/c2)[s]÷t[s]= (c-vcosθ)/c√(1-v2/c2)倍
となります。
逆に、静止系ではv慣性系に比べ
距離L= c√(1-v2/c2) /(c-vcosθ)倍
時間T= c√(1-v2/c2) /(c-vcosθ)倍
です。
つまり、2つの荷電粒子ABが並走すると、電磁波の移動距離がABからAB'に、c√(1-v2/c2) /(c-vcosθ)倍となります。
ここで2つの荷電粒子が、相手との電磁気力により、どれだけの速度で移動するかを考察します。
v[m/s]で移動すると、電磁波の往復距離Lはc√(1-v2/c2) /(c-vcosθ)倍となります。そして、「電磁波の往復距離に反比例した強さで電磁気力が生じる」と仮定します。静止時の電磁気力F=maとすると
v慣性系の電磁気力F'=F÷{c√(1-v2/c2) /(c-vcosθ)}= ma÷{c√(1-v2/c2) /(c-vcosθ)}=ma'
です。したがって
v慣性系の加速度a'=静止時の加速度a/{c√(1-v2/c2) /(c-vcosθ)}
です。つまり、加速度は1/{c√(1-v2/c2) /(c-vcosθ)}倍となります。
cosθ=v/cを代入すると、加速度は√(1-v2/c2)倍となることが分かります。ですから、v[m/s]で移動する物体は√(1-v2/c2)倍しか加速出来ないので、「まるで質量mが1/√(1-v2/c2)倍増加した様に振舞う」と表現します。
そして、静止時の速度v=v0+atとすると
v慣性系の速度v'=v0+ [a/{c√(1-v2/c2) /(c-vcosθ)}]t'= v0+ a/{c√(1-v2/c2) /(c-vcosθ)}×ct√(1-v2/c2) /(c-vcosθ)= v0+at=静止時の速度v
です。つまり、v慣性系でも電磁気力は静止時と同じ速さで荷電粒子を動かすので、その電磁気力は静止時と同じと観測されます。これを「特殊相対性原理」と言います。
一方、慣性系相互間の考察でも、「生じる電磁気力の強さは電磁波の移動距離の2乗に反比例する」との主張があります。では、c√(1-v2/c2) /(c-vcosθ)=γとします。
すると
v慣性系の電磁気力F'=F/γ2=ma/γ2
です。したがって
v慣性系の加速度a'=静止時の加速度a/γ2
です。つまり、加速度は1/γ2倍となります。
そして、静止時の速度v=v0+atとすると
v慣性系の速度v'=v0+ (a/γ2)t'= v0+ a/γ2×tγ= v0+at/γ≠静止時の速度v
です。これでは、v慣性系では生じる電磁気力の強さが弱まると観測され「特殊相対性原理」を満たしません。したがって、この主張は誤りです。
v慣性系では、「特殊相対性原理」より「電磁波のコース」は静止時と同じと観測されます。ですから、「電磁波のコース」は縦方向(進行方向)へ伸びるだけで、横方向(上下左右方向)に変化ありません。ですから、電磁気力は電磁波の往復距離に反比例した強さで生じます。
一方、静止時に2つの荷電粒子間の距離が伸びると、電磁波はお互いに反発し合うので「電気力線」のとおり横方向(上下左右方向)へ大きく広がります。ですから、電磁気力は距離の2乗に反比例した強さで生じます。
一方、kothimaro変換は以下のとおりです。
⑥x'=(x-vｔ)/√（1-v2/c2）
⑦y'= y
⑧z'= z
⑨t'=t√(1-v2/c2)
⑩c'=(c-vcosθ)/(1-v2/c2)
v慣性系では静止時に比べて
距離L= (c-vcosθ)/c√(1-v2/c2)倍
時間T= t√(1-v2/c2) [s]÷t[s]=√(1-v2/c2)倍
となります。
逆に、静止系ではv慣性系に比べて
距離L= c√(1-v2/c2) /(c-vcosθ)倍
時間T= 1/√(1-v2/c2) 倍
です。
つまり、2つの荷電粒子ABが並走すると、電磁波の移動距離がABからAB'にc√(1-v2/c2) /(c-vcosθ)倍となります。
ここで、2つの荷電粒子が相手からの電磁気力によりどれだけの速度で移動する様になったかを考察します。
v[m/s]で移動すると、電磁波の往復距離Lはc√(1-v2/c2) /(c-vcosθ)倍となります。そして、電磁波の往復距離に反比例した強さで電磁気力が生じると仮定します。静止時の電磁気力F=maとすると
v慣性系の電磁気力F'=F÷{c√(1-v2/c2) /(c-vcosθ)}= ma÷{c√(1-v2/c2) /(c-vcosθ)}=ma'
です。したがって
v慣性系の加速度a'=静止時の加速度a/{c√(1-v2/c2) /(c-vcosθ)}
です。つまり、加速度は1/{c√(1-v2/c2) /(c-vcosθ)}倍となります。
そして、静止時の速度v=v0+atとすると
v慣性系の速度v'=v0+ [a/{c√(1-v2/c2) /(c-vcosθ)}]t'= v0+ a/{c√(1-v2/c2) /(c-vcosθ)}×ct√(1-v2/c2) /(c-vcosθ)= v0+at=静止時の速度v
です。つまり、v慣性系でも電磁気力は静止時と同じ速さで荷電粒子を動かすので、その電磁気力は静止時と同じと観測されます。これを「特殊相対性原理」と言います。
※『つまり、v慣性系でも電磁気力は静止時と同じ速さで荷電粒子を動かすので、その電磁気力は静止時と同じと観測されます。』を補足説明しておきます。
v慣性系では、静止時に比べて
距離L= (c-vcosθ)/c√(1-v2/c2)倍
時間T=(c-vcosθ)/c√(1-v2/c2)倍
となります。
∴静止系で速度がu増減すると、「速度=距離÷時間」なので、v慣性系では
u×(c-vcosθ)/c√(1-v2/c2)倍÷(c-vcosθ)/c√(1-v2/c2)倍=u
速度が増減すると観測されます。
つまりv慣性系では、静止時と同じ時間、同じ方法で加速すると、同じだけ速度が増減すると観測されます。これを「特殊相対性原理」と言います。
静止時には、プラスの電荷から生じた電磁波同士、マイナスの電荷から生じた電磁波同士が反発し合い上下左右に広がるので、電気力線に沿って電磁波は往復します。
ですから、生じる電磁気力の強さは、電磁波の往復距離に反比例し、荷電粒子間の距離の2乗に反比例するのです。
v[m/s]で並走時は、「特殊相対性原理」よりv慣性系で見た電磁波の往復コースと静止系で見たそれとは同じ形になります。
ですから、電磁波の往復コースは上下左右に広がらず、前後に広がるだけです。故に、電磁波の往復距離=2つの荷電粒子の絶対距離に反比例した強さで電磁気力は生じます。
複数の電磁波が、複数の「電気力線」に沿った①複数のコースを進みます。電磁波同士反発し合うので、電磁波は電気力線に沿って流れ、荷電粒子間を往復します。
電磁波(=光)が①の内どのコースを通っても、荷電粒子から見た電磁波の速度は(c-vcosθ)/c√(1-v2/c2)倍になります(距離Lがc√(1-v2/c2) /(c-vcosθ)倍となるからです)。しかし、時間の座標も(c-vcosθ)/c√(1-v2/c2)倍になります。
速度v=距離L÷時間tなので
v[m/s]で移動する荷電粒子から見た電磁波(=光)の速度c'=c×(c-vcosθ)/c√(1-v2/c2)倍÷(c-vcosθ)/c√(1-v2/c2)倍=c
と②「光速度不変」です。
そして、③v慣性系と静止系で、電磁波の複数の「往復コース」は同じ形です。つまり、全ての慣性系で物理法則は同じ形となります。また、②静止系でもv慣性系でも、電磁波(=光)の速度は光速度cと観察されます。
この様にv慣性系と静止系では、電磁波が③同じコースを②同じ速度で往復すると観測されるので、v慣性系と静止系で生じる電磁気力Fの強さは同じと観測されます。これが「特殊相対性原理」です。
この様にv慣性系では、電磁波の往復距がc√(1-v2/c2) /(c-vcosθ)倍となるので、生じる電磁気力の強さは(c-vcosθ)/c√(1-v2/c2)倍となります。
したがって、粒子は同じ時間加速しても静止時の(c-vcosθ)/c√(1-v2/c2)倍の速度しか出せません。ですから、v慣性系の時計は(c-vcosθ)/c√(1-v2/c2)倍ゆっくりと時を刻みます。
時計が(c-vcosθ)/c√(1-v2/c2)倍遅れるので、観測者はそれだけ短い時間加速したので、粒子の速度は(c-vcosθ)/c√(1-v2/c2)倍しか出なかったと計算します。したがって、加速度aは同じで、生じる電磁気力Fは静止時と同じと考えます。
2つの荷電粒子が静止している時には、電磁波は電気力線に沿って往復します。ですから、①電磁波は2つの荷電粒子間の最短距離である直線に往復するのではありません。
①なら電磁気力は2つの荷電粒子間の距離に反比例します。しかし、電磁波は様々なコースを辿ります。最短距離の直線上を往復するものから、電気力線が大きく外側を回って相手の荷電粒子に到達するコースを取るものまであります。
それらを重ね合わせると、生じる電磁気力の強さは2つの荷電粒子間の距離の2乗に反比例します。
v慣性系と静止系とでは、電気力線は同じ形になります。ですから、②生じる電磁気力の強さは、電磁波の往復距離に反比例したものとなります。
この様に、粒子は電磁波の往復距離に反比例した速度でしか動かないので、時計は電磁波の往復距離に反比例した速さでしか動きません。
粒子の増加速度は少しですが、時計も少ししか動いていません。だから観測者は、加速度は同じでも余り時間が経過していないので余り速度が出なかったと判断します。
つまり、v慣性系でも電磁気力の強さは静止時と同じと判断します。これを「特殊相対性原理」と言います。
光の往復経路は荷電粒子の最短距離ではなく電磁力線に沿ったものとなります。
そのため、光の往復経路は荷電粒子の最短距離より長くなります。
力が光の往復時間に反比例という観点で荷電粒子に掛かる力を求めるには、電磁波の全経路について光の往復時間を足し合わせる必要があります。全て足し合わせると荷電粒子の最短距離の二乗に反比例と同値になります。
「電気力線」は、電場の向きを表します。プラスとマイナスの電荷が作る電場に、自由に動くことの出来る正電荷を置くと、電気力線の方向へ動きます。∴電磁波は「電気力線」に沿って流れています。
したがって、電場にある正電荷は、常に真っすぐマイナスに向かって動くのではありません。
電気力線は正電荷が力を受ける方向を表します。電気力線に沿って電磁波が流れるから、正電荷はその流れに沿って力を受けるのです。
「一方v慣性系と静止系とでは、電気力線は同じ形になります。」を「一方v慣性系と静止時とでは、電気力線は同じ形になります。」に訂正します。
電気力線の形は、静止時とv[m/s]で移動している時とでは同じ形です。v慣性系の電気力線を静止系から見ると縦(進行方向)1/√(1-v2/c2)倍・横1/√(1-v2/c2)倍です。
プラスの点電荷とマイナスの点電荷の2つしかなければ、プラスの点電荷が動く方向は、マイナスの点電荷の方向です。そして、その強さは点電荷の距離の2乗に反比例します。
ですから、「便宜上」マイナスの点電荷から放射状に広がる「電気力線」を描くのです。
しかし、このプラスとマイナスの2つの点電荷が作る電場に、もう1つプラスの点電荷を置くと、そのプラスの点電荷は真っすぐにマイナスの点電荷の方向へ力を受けるのではなくて、プラスとマイナスの2つの点電荷の周りに描かれた「電気力線」の方向へ力を受けます。
このことは、プラスとマイナスの2つの点電荷間を、電磁波は②電気力線に沿って往復していることを証明します。
この様に、「プラスとマイナスの2つの点電荷のみあるケースでは、電磁波は1つの点電荷から放射状に無限遠まで広がっているのだ」との主張は誤りです。
マイナスとマイナス又はプラスとプラスが反発する様をイメージしてください。2つのマイナスから何かが出ていて、それらが反発しあっている様を「電気力線」は表現しています。同様に、2つのプラスから何かが出ていてそれが反発しあっています。
逆に、マイナスから出ているものとプラスから出ているものが引き合う様を「電気力線」は表現しています。
この宇宙には「超対称性」があり、波には常に鏡像があります。即ち、マイナスから出ている波とプラスから出ている波は、鏡に映った様に反対の波です。
そして、マイナスから出ている波同士反発し合うので広がります。プラスから出ている波同士も反発しあい広がります。
ですから、マイナスとプラスの距離が大きくなると、電磁波が辿るコース(=光子が辿るコース=電気力線)は上下左右に広がります。一方、マイナスとプラスが相対距離を同じくして並走するケースでは、「特殊相対性原理」より、v慣性系で静止時と同じコースを取ると見えるので、電磁波(光子=電気力線)は上下左右に広がりません。
プラスの電荷から生じた電磁波同士、マイナスの電荷から生じた電磁波同士が反発し合い上下左右に広がるので、電気力線に沿って電磁波は往復します。