相対性理論では、物質も光も粒子とします。物質の粒子は静止質量を持ち、光子は静止質量を持たず運動エネルギーです。物質は光になります(物質と反物質の対消滅)。その時、物質の静止質量(=エネルギー)が光子の運動エネルギーになります。このように、両者のエネルギーは等価です。
粒子は振動しながら進みます。ですから、その軌跡は波形です。
ここで、電子を例にし説明します。
電子は、原子核の周りを振動しながら波形を描いて回ります。そして、1周して同じ位置に来なければ、電子のエネルギーは失われてしまいます。ですから、電子は原子核を1周して、元の位置に戻らなければなりません。故に、電子が1周回る間の振動数nは自然数です。これを「ボーアの量子条件」と言います。
物質の粒子の波(物質波)を表現する時、1[rad]の波で表現することが多いです。これは、物質の粒子は電子の様に円軌道を回ることが多いからです。
n=1を想定します。
電子の軌道半径をrとします。すると、①電子の波長λ=2πrです。電子の速度をvとすると、「②ド・ブロイ波長λ=h/mv」です。①と②より
電子の波長λ=2πr= h/mv
∴
③電子の質量m=h/2πrv
④電子のエネルギーE=mc2=hc2/2πrv
⑤電子の速度v=h/2πrm
です。
しかし、これでは至る所に2πが出て来て煩雑です。2πを除く為に、プランク定数hの代わりにディラック定数hﾊﾞｰ(=h/2π)を使います。h=2πhﾊﾞｰ、電子の波長λ=2πr= 2πhﾊﾞｰ/mvなので
電子の波長λの1/2π=r=hﾊﾞｰ/mv
∴
⑥電子の質量m=hﾊﾞｰ/rv
⑦電子のエネルギーE=hﾊﾞｰc2/rv
⑧電子の速度v=hﾊﾞｰ/rm
と2πが無くなり、数式がすっきりします。
計算を簡素化するため物質波を記述する時、波長λの1/2π(1[rad]のkothimaro長)を1単位とする波で計算します。
kothimaro長は、粒子が1[rad]回転した波です。ですから、1秒間に1[rad]回転する角周波数は1[rad/s]です。
これに対し、光は直進します。そのため計算に2πが出て来ないので、光はプランク定数hで計算します。
光のエネルギーE=hf (f=周波数)
です。したがって
1秒間に1回振動する光のエネルギーE=h×1[Hz]=h[J]
です。
一方、物質波はhﾊﾞｰと角周波数ωを使うので
物質のエネルギーE=hﾊﾞｰω
です。振動数が多くなると光から物質になりますが、それは一旦置きます。では、1秒間に1回振動する物質波のエネルギーを求めましょう。
1秒間に1回転=1秒間に2π[rad]なので
2π[rad/s]の物質波のエネルギーE=hﾊﾞｰω=hﾊﾞｰ×2π[rad/s]=h[J]
です。
このように、光のエネルギーをhとfで表現し、物質のエネルギーをhﾊﾞｰとωで表現しても、1秒間に1回振動する波のエネルギーE=h[J]となります。
物質も光も1本の「超ひも」の振動で表現されます。1本の「超ひも」の長さ=プランク距離lpです。それがプランク時間tpに1[rad]振動するのが「プランク粒子」です。
これは、半径r=プランク距離lpの円周上(2πlp)を、プランク時間tpに1[rad]回転する粒子です。つまり、2πtp[s]で1回転します。
その時、角周波数ω=1/tp[rad/s]です。ですから
「プランク粒子」のエネルギーE=hﾊﾞｰ×(1/tp)=hﾊﾞｰ/tp=hﾊﾞｰ/√(hﾊﾞｰG/c5)=√(hﾊﾞｰc5/G)=プランクエネルギーEp
です。そして
プランク粒子の質量=Ep/c2=√(hﾊﾞｰc5/G)/c2=√(hﾊﾞｰc/G)=プランク質量mp
です。
物質波の「ド・ブロイ波長λ=h/mv」です。ですから
波長λ×速度v=h/m
です。物質にはhﾊﾞｰを使います。「ド・ブロイ波長」の1/2πの波長(1[rad]のkothimaro長)λ’= h/2πmv=hﾊﾞｰ/mvです。すると
⑨波長λ’×速度v= (hﾊﾞｰ/mv)×v=hﾊﾞｰ/m
です。
Ⅵ.不確定性原理
宇宙には、様々な波長と速度の物質波があります。しかし⑨の制約があるので、波長λ’を合わせようとすると速度vが合わなくなり、逆に速度vを合わそうとすると今度は波長λ’が合わなくなります。
故に
Δλ’・Δv=hﾊﾞｰ/m
です。粒子の位置xを連続すると波の軌跡となります。ですから、粒子の位置x=物質波の波長λ’です。したがって
Δx・Δv> hﾊﾞｰ/m
が導かれます。これが「不確定性原理」です。
m[㎏]の質量が変わった光の波長が「コンプトン波長」です。
m[㎏]の質量のエネルギーE=mc2
1秒間に1回振動する光のエネルギーE=h[J]
∴mc2[J]の光の周波数f= mc2/h
光の1回の振動に要する時間t=h/mc2[s]
光の波長λ=t×c= (h/mc2)×c=h/mc=「コンプトン波長」
です。
この様に、直進する光には周波数fの波を、回転する物質には角周波数ωの波を使います。